Определить, изоморфна ли группа $%S_3\times C_2$% какой-нибудь из следующих групп:

  • $%A_4$%
  • $%D_6$%
  • группа с образующими $%x,y$% и соотношениями $%x^4=1,y^3=1,xy=y^2x$%

задан 19 Фев '18 1:30

10|600 символов нужно символов осталось
1

Группа D(6) изоморфна S(3)xZ(2). Помнится, я когда-то придумал это рассуждение на университетской контрольной по алгебре :)

Рассмотрим правильный 6-угольник. Впишем в него три диагонали. Любое преобразование 6-угольника эти диагонали как-то переставляет, что даёт гомоморфизм D(6) в S(3). Аналогично, вписываем два правильных треугольника. Их перестановки дают гомоморфизм D(6) в Z(2). По этим двум гомоморфизмам f и g строится гомоморфизм x -> (f(x),g(x)) из D(6) в прямое произведение S(3)xZ(2).

Поскольку обе группы имеют порядок 12, для обоснования биективности достаточно проверить инъективность, то есть тривиальность ядра. Пусть преобразование x нашего 6-угольника лежит в ядре. Тогда f(x)=g(x)=1. Это значит, что всякая вершина остаётся на "своей" диагонали, и на "своём" правильном треугольнике. Но они пересекаются только по этой вершине. Значит, x оставляет каждую вершину на месте, и является тождественным преобразованием.

Между группами A4 и D6 имеется очень много различий, и любое из них можно использовать. Например, в D6 есть элемент порядка 6, а в A4 его нет. Верно более сильное утверждение -- в A4 нет никаких подгрупп порядка 6, что является простейшим контрпримером к обращению теоремы Лагранжа о подгруппах. Можно также сравнить количество элементов порядка 2 в обеих группах (3 и 7 соответственно), или порядка 3 (там будут числа 8 и 2).

Третья из групп не изоморфна никакой из двух предыдущих. В ней есть элемент порядка 4, а в A4 или D6 таковых не имеется. Доказать это можно так. Рассмотрим группу Z3 с образующим y. Группа автоморфизмов изоморфна Z2 и порождается автоморфизмом ф(y)=y^{-1}=y^2. Рассмотрим полупрямое произведение Z3 на Z4, где Z4 порождена элементом x. Правило x -> ф задаёт гомоморфизм Z4 в Aut(Z3) и приводит к конструкции полупрямого произведения, описываемой в точности соотношениями x^4=1, y^3=1, xyx^{-1}=ф(y)=y^2. Обе группы Z3 и Z4 туда вкладываются, и x имеет порядок 4.

Можно ещё отметить, что групп порядка 12 с точностью до изоморфизма всего пять: две абелевы Z(12) и Z6xZ2, и три неабелевых, которые здесь все перечислены.

ссылка

отвечен 19 Фев '18 2:00

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,520

задан
19 Фев '18 1:30

показан
245 раз

обновлен
19 Фев '18 2:00

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru