На столе стоят две корзинки, в одной из которых 1000 пирожков, в другой - 2017. Петя и Вася ходят по очереди, начинает Петя. За ход игрок берет ненулевое четное число пирожков, половину из них съедает, а оставшиеся перекладывает в другую корзину. Проигрывает не имеющий хода. Кто победит при правильной игре?

задан 20 Фев '18 8:09

10|600 символов нужно символов осталось
5

Первый победит. На первом ходу первый берет $%2 \cdot 339$% пирожков из большой корзинки (из той, где 2017 пирожков). В результате после его первого хода в обеих корзинках буде однаковое число пирожков - по 1339. Дальше первый должен играть так, чтобы всегда после его хода в обеих корзинках оставалось одинаковое число пирожков. Он это сможет. Доказательство. Пусть после предыдущего хода первого в обеих корзинках было по $%a$% пирожков. Сходил второй и теперь пирожков $%a-2x, a+x$%. Понятно, что $%a \ge 2x$% Поскольку второй смог сходить при $%a$% пирожках, то первый сможет сходить при $%a+x$% пирожках и при этом взять $%2x$% пирожков ($%a +x \ge 3x$%). Первому надо взять $%2x$% пирожков с корзины, в которой их $%a+x$% . Тогда число пирожков в корзинах снова сравняется. При такой игре первого, как мы уже заметили, первый всегда будет иметь ход, если перед этим его имел второй. Поэтому первый проиграть не может. Следовательно, второй проиграет.

ссылка

отвечен 20 Фев '18 11:17

изменен 20 Фев '18 11:38

@Witold2357, класс!

(20 Фев '18 14:51) make78
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×69

задан
20 Фев '18 8:09

показан
416 раз

обновлен
20 Фев '18 14:51

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru