Можно ли расставить числа 1, 2, 3, ..., 99, 100 по кругу так, чтобы все суммы по 10 подряд идущих чисел давали разные остатки при делении на 100?

задан 20 Фев '18 8:24

Ответ очевиден, потому что есть 99! вариантов расстановки и всего несколько тысяч равенств, которые НЕ должны выполняться. Но дальше надо либо доводить эту идею до аккуратной оценки, либо забить на красивую идею и тупо искать конкретную расстановку.

(20 Фев '18 11:23) knop
10|600 символов нужно символов осталось
5

Нельзя. Всего у нас будет 100 разных сум. Пусть эти сумы равны $%s_1, s_2, ..., s_{100}$%. По условию задачи эти сумы должны давать все остатки от 0 до 99. Сума всех остатков равна $%1+2+...+99=50 \cdot 99$% . Значит число $%s_1+ s_2+ ...+s_{100} - 50 \cdot 99$% должно без остатка делится на 100. Так как каждое число от 1 до 100 встречается ровно в 10 сумах, то $%s_1+ s_2+ ...+s_{100}=10(1+2+...+100)=500 \cdot 101$%. Но тогда $%s_1+ s_2+ ...+s_{100} - 50 \cdot 99$% не делится на 100.

ссылка

отвечен 20 Фев '18 12:54

@Witold2357, шикарное решение. Спасибо!

(20 Фев '18 14:57) make78
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×43

задан
20 Фев '18 8:24

показан
425 раз

обновлен
20 Фев '18 14:57

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru