alt text

Решите уравнение, пожалуйста.

задан 20 Фев '18 23:30

10|600 символов нужно символов осталось
1

$%x^2+2x-8=(x-2)(x+4)$%

$%\sqrt{x+2}-2=\frac{x-2}{\sqrt{x+2}+2}$%

Одним из корней будет $%x=2$%; он удовлетворяет ОДЗ. При $%x\ne2$% можно обе части сократить на $%x-2$%, получая $%\frac{x+4}{x^2-2x+3}=\frac{x+1}{\sqrt{x+2}+2}$%.

Дальше я пока не нашёл ничего лучшего нежели записать уравнение в виде $%\sqrt{x+2}=\frac{(x^2-2x+3)(x+1)}{x+4}-2=\frac{x^3-x^2-x-5}{x+4}$%. После возведения в квадрат получается $%(x^3-x^2-x-5)^2-(x+2)(x+4)^2=0$%. После раскрытия скобок возникает уравнение 6-й степени $%x^6-2x^5-x^4-9x^3+x^2-22x-7=0$%.

Признаюсь честно, что решал я на компьютере, то есть такое решение нельзя считать "полноценным". Однако это лучше, чем ничего, и в результате возникло такое разложение на множители: $%(x^2-3x-1)(x^4+x^3+3x^2+x+7)=0$%. Многочлен 4-й степени здесь всюду положителен, что видно из его представления в виде $%(x^2+\frac12x)^2+\frac{11}4x^2+x+7$%, где у квадратного трёхчлена отрицательный дискриминант.

Квадратное уравнение имеет корни $%x=\frac{3\pm\sqrt{13}}2$%. Их следует подвергнуть проверке. Для обоих корней $%x^2=3x+1$%, $%x^3=3x^2+x=10x+3$%, поэтому $%x^3-x^2-x-5=6x-3=3(2\pm\sqrt{13})$%. Эта величина положительна для большего из корней, и отрицательна для меньшего. Поскольку $%x+4 > 0$% для обоих корней, дробь $%\frac{x^3-x^2-x-5}{x+4}$% оказывается положительной только при $%x=\frac{3+\sqrt{13}}2$%. При таком условии возведение в квадрат становится "законным", то есть мы нашли второй из корней уравнения.

Я понимаю, что это решение не слишком подходящее, но с формальной точки зрения, оно верное. Надеюсь, что кто-нибудь предложит решение получше, найдя соответствующую "изюминку".

ссылка

отвечен 21 Фев '18 0:29

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×909

задан
20 Фев '18 23:30

показан
339 раз

обновлен
21 Фев '18 0:29

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru