Задание:Оценить вероятность того,что частота некоторого события А отклонится от его вероятности P в каждом испытании из серии n независимых испытаний по абсолютной величине не более чем на 0.001, если будет произведено n испытаний Данные:p=1/3 n=10000

Просьба описать решение поподробнее.спасибо!!

задан 26 Мар '13 19:45

Проверьте данные в условии задания.

(26 Мар '13 20:17) Anatoliy

Проверил,в расчётке так написано!!!

(26 Мар '13 20:19) student11-AM

0,001-? 10000-?

(26 Мар '13 20:20) Anatoliy

Да 0.001 и (n,p-даны по варианту)яих взял 1/3 и 10000

(26 Мар '13 20:23) student11-AM

Возможно 0,01 или 1000000?

(26 Мар '13 20:31) Anatoliy

Нет,там 0.001

(26 Мар '13 20:31) student11-AM

Расчетка у Вас? В других вариантах какие данные (приведите пару примеров)?

(26 Мар '13 20:47) Anatoliy

Хорошо: p=1/3;n=75000

p=1/5;n=10000

p=1/4;n=12000

(26 Мар '13 22:17) student11-AM
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
0

Здесь имеется $%n$% одинаково распределённых независимых случайных величин $%X_1$%, $%\dots$%, $%X_n$%. Каждая величина $%X_i$% принимает значение $%1$% с вероятностью $%p$% (когда событие $%A$% наступило), и значение $%0$% с вероятностью $%q=1-p$%, если оно не наступило. Матожидание $%X_i$% равно $%MX_i=1\cdot p+0\cdot q=p$%. Таково же матожидание её квадрата, так как $%X_i^2=X_i$%. Тогда для дисперсии имеем $%DX_i=MX_i^2-(MX_i)^2=p-p^2=pq$%.

Что такое частота (наступления) события $%A$% в серии испытаний? Если было сделано $%10$% испытаний, и $%A$% наступило в трёх, то частота равна $%3/10$%. У нас событие $%A$% наступало ровно $%X_1+\cdots+X_n$% раз (количество единиц в сумме), и мы делим эту величину на $%n$%. То есть это среднее значение -- это $%X=(X_1+\cdots+X_n)/n$%.

Найдём матожидание и дисперсию $%X$%. Матожидание суммы всегда равно суммы матожиданий, и при делении на $%n$% оно делится на $%n$%. Отсюда $%MX=(MX_1+\cdots+MX_n)/n=pn/n=p$%. Далее, дисперсия суммы независимых величин также равна сумме дисперсий, но при делении на $%n$% дисперсия делится на $%n^2$%, то есть $%DX=(DX_1+\cdots+DX_n)/n^2=pq/n$%.

Теперь всё готово к применению неравенства Чебышева, которое утверждает, что вероятность отклонения величины $%X$% от её матожидания более чем на $%\varepsilon$% не превосходит её дисперсии, делённой на $%\varepsilon$% в квадрате: $$P(|X-MX| > \varepsilon)\le\frac{DX}{\varepsilon^2}.$$

В рассматриваемом примере $%MX=p=1/3$%, $%n=10^4$%, $%DX=pq/n=(1/3)(1-1/3)/10^4=2\cdot10^{-4}/9$%, $%\varepsilon=10^{-3}$%, и оцениваемая вероятность не превосходит $%200/9$%. Это огромная величина, и такой вывод хотя и верен, но он бесполезен: безо всяких неравенств ясно, что любая вероятность не превосходит единицы. Поэтому, скорее всего, в условии допущена какая-то неточность. Правдоподобно выглядело бы значение $%\varepsilon=10^{-2}$%. Тогда вероятность отклонения более чем на $%\varepsilon$% не превосходила бы $%2/9$%, и ответ в задаче был бы равен $%1-2/9=7/9$%: это оценка снизу для вероятности того, что отклонение частоты от вероятности не больше $%\varepsilon=0,01$%.

ссылка

отвечен 27 Мар '13 0:17

10|600 символов нужно символов осталось
0

Воспользуемся следствием неравенства Чебышева:$$P\big\{|\frac{\mu_n}{n}-p|<\varepsilon\Big\}\ge1-\frac{p(1-p)}{n\varepsilon^2}.$$ Подставляя данные задачи, получим: $$P\big\{|\frac{\mu_n}{10000}-\frac{1}{3}|<0,001\Big\}\ge1-\frac{\frac{1}{3}\cdot(1-\frac{1}{3})}{10000\cdot 0,001^2}=...$$ В условии опечатка.

ссылка

отвечен 27 Мар '13 8:53

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,846

задан
26 Мар '13 19:45

показан
3862 раза

обновлен
27 Мар '13 8:53

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru