теория-вероятностей - Задача на неравенство Чебышева

Здесь имеется $%n$% одинаково распределённых независимых случайных величин $%X_1$%, $%\dots$%, $%X_n$%. Каждая величина $%X_i$% принимает значение $%1$% с вероятностью $%p$% (когда событие $%A$% наступило), и значение $%0$% с вероятностью $%q=1-p$%, если оно не наступило. Матожидание $%X_i$% равно $%MX_i=1\cdot p+0\cdot q=p$%. Таково же матожидание её квадрата, так как $%X_i^2=X_i$%. Тогда для дисперсии имеем $%DX_i=MX_i^2-(MX_i)^2=p-p^2=pq$%.

Что такое частота (наступления) события $%A$% в серии испытаний? Если было сделано $%10$% испытаний, и $%A$% наступило в трёх, то частота равна $%3/10$%. У нас событие $%A$% наступало ровно $%X_1+\cdots+X_n$% раз (количество единиц в сумме), и мы делим эту величину на $%n$%. То есть это среднее значение -- это $%X=(X_1+\cdots+X_n)/n$%.

Найдём матожидание и дисперсию $%X$%. Матожидание суммы всегда равно суммы матожиданий, и при делении на $%n$% оно делится на $%n$%. Отсюда $%MX=(MX_1+\cdots+MX_n)/n=pn/n=p$%. Далее, дисперсия суммы независимых величин также равна сумме дисперсий, но при делении на $%n$% дисперсия делится на $%n^2$%, то есть $%DX=(DX_1+\cdots+DX_n)/n^2=pq/n$%.

Теперь всё готово к применению неравенства Чебышева, которое утверждает, что вероятность отклонения величины $%X$% от её матожидания более чем на $%\varepsilon$% не превосходит её дисперсии, делённой на $%\varepsilon$% в квадрате: $$P(|X-MX| > \varepsilon)\le\frac{DX}{\varepsilon^2}.$$

В рассматриваемом примере $%MX=p=1/3$%, $%n=10^4$%, $%DX=pq/n=(1/3)(1-1/3)/10^4=2\cdot10^{-4}/9$%, $%\varepsilon=10^{-3}$%, и оцениваемая вероятность не превосходит $%200/9$%. Это огромная величина, и такой вывод хотя и верен, но он бесполезен: безо всяких неравенств ясно, что любая вероятность не превосходит единицы. Поэтому, скорее всего, в условии допущена какая-то неточность. Правдоподобно выглядело бы значение $%\varepsilon=10^{-2}$%. Тогда вероятность отклонения более чем на $%\varepsilon$% не превосходила бы $%2/9$%, и ответ в задаче был бы равен $%1-2/9=7/9$%: это оценка снизу для вероятности того, что отклонение частоты от вероятности не больше $%\varepsilon=0,01$%.