Основанием треугольной пирамиды $%SABC$%служит правильный треугольник $%ABC$% со стороной $%4$%. Известно, что для произвольной точки $%M$% на продолжении высоты $%SH$%(точка $%S$% находится между точками $%M$% и $%H$%) углы $%MSA; MSB; MSC; ASB; ASC $% и $%BSC$% равны между собой. Построен шар радиуса $%1$% с центром в точке $%S$%. Найдите объем общей части пирамиды $%SABC$% и шара.

задан 21 Фев '18 0:01

1

Я немного смотрел эту задачу, и общий принцип решения понятен, но до конца я не досчитывал. Прежде всего, легко показать, что H расположена в центре треугольника, так как боковые стороны равны (каждая из них выражается через SH и угол). Далее обозначаем через ф угол п-MSA, и через него двумя способами выражаем боковую сторону. Один раз из треугольника ASH, другой раз из боковой грани. В итоге находим угол ф и сторону SA. Последняя у меня оказалась равна sqrt(6). Теперь надо рассмотреть шар и применить формулы типа объёма сегмента, чтобы понять, сколько от него отрезается плоскостями.

(21 Фев '18 1:26) falcao

@falcao: Извините пожалуйста, боковую сторону из треугольника $%ASH$% через угол $% \varphi$% я выразил, получилось $%b= \frac{4}{ \sqrt{3}sin \varphi } $%, но выразить боковую сторону через угол $% \varphi $% из боковой грани, как то не получается, т.к. угол $% \varphi $% это угол между боковым ребром и высотой $%SH$% и как перейти к боковой грани не понимаю, там ведь нет этого угла. Или я опять, что-то не понял? Заранее благодарен. С уважением.

(22 Фев '18 18:37) serg55
1

@serg55: а что там сложного? Дан равнобедренный треугольник с тем же углом ф при вершине, согласно условию. Известна длина основания. Найти боковую сторону -- задача простейшая.

(22 Фев '18 18:46) falcao

@falcao: Извините сглупил, по условию задачи угол при вершине равен углу $%MSA$% и тогда если выразить его через угол $% \varphi $%, то он будет равен $% \varphi $%, то он будет равен $% \pi - \varphi $%, правильно я понял? У меня также получилась боковая сторона равна $% \sqrt{6}$%. Ну а что дальше делать конкретно. я не соображу. Заранее благодарен. С уважением.

(22 Фев '18 18:54) serg55

@serg55: дальше можно найти объём как интеграл от площадей плоских сечений. При сечении пирамиды плоскостью, перпендикулярной высоте, получится или треугольник, или круг. Соответственно, возникнет сумма двух интегралов. Можно и по-другому: сначала найти объём части шара внутри трёхгранного угла, потом вычесть объём шарового сегмента, возникающего внизу. Но первый способ, я думаю, проще.

(22 Фев '18 19:27) falcao

@falcao: Извините ещё раз. А разве общая часть пирамиды и шара, это не маленькая пирамида при вершине большой, с боковой стороной равной радиусу шара, т.е. $%R=1$%, объем которой у меня получился равен $% \frac{2}{9 \sqrt{3} } $% и плюс шаровой сегмент, возникающий внизу, окружность основания которого это окружность, описанного около основания маленькой пирамиды. У меня получился объём сегмента равный $% \frac{ \pi (6 \sqrt{2}-1) }{81} $%, если я нигде не ошибся. Затем складываем эти объёмы. Или я всё-таки не понял, что есть общая часть пирамиды $%SABC$% и шара? Заранее благодарен.

(22 Фев '18 20:06) serg55
1

@serg55: там чуть сложнее. Дело в том, что высота пирамиды равна sqrt(2/3), то есть она меньше 1, и к объёму пирамиды добавится не сегмент, а шаровой слой. Из того, что Вы нашли, надо будет вычесть объём сегмента, высота которого равна 1-sqrt(2/3).

(22 Фев '18 20:52) falcao

@falcao: Объём сегмента, который надо вычесть, если его высота равна, как Вы написали равна $%1- \sqrt{ \frac{2}{3} }$%, то радиус его основания равен $% \frac{1}{ \sqrt{3} }$% и тогда объём равен $% \frac{ \pi (5-2 \sqrt{6})(3+ \sqrt{2} - \sqrt{3} )}{27} $% . Очень громоздкое выражение. Или я всё-таки где-то ошибся? И почему высота вычитаемого сегмента равна $%1- \sqrt{ \frac{2}{3} }$% не очень понятно. Ведь это разница между радиусом шара и высотой пирамиды. Заранее благодарен.

(22 Фев '18 21:24) serg55
1

@serg55: судя по всему, ответ и должен быть громоздким. Правда в произведении можно скобки раскрыть.

Центр шара находится в точке S, которая удалена от основания на расстояние sqrt(2/3). Радиус шара равен 1. Значит, высота сегмента именно такая, как сказано.

(22 Фев '18 22:18) falcao
показано 5 из 9 показать еще 4
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×507

задан
21 Фев '18 0:01

показан
250 раз

обновлен
22 Фев '18 22:18

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru