На доске записаны 4 натуральных числа. На каждом шаге можно стереть любые два из написанных чисел $%a, b$% и записать вместо них числа $%a+b, ab$%.

С самого начала были записаны числа 1, 3, 6 и 10.

Можно ли получить через несколько шагов на доске записанными числа:

а) 2016, 2017, 2019, 2022;

б) 2015, 2016, 2017, 2018?

Так, я не понимаю, это что у нас, юмор такой? Зачем два пункта? Да и задача совсем детская. Если вначале было записано число, кратное 10, то получить 4 числа, ни одно из которых не кратно 10, невозможно.

Разве не так?

Вот ссылка на задачу (задача №2): http://mathedu.kharkiv.ua/content/articles/%D0%9E%D0%B1%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D0%BC%D0%BF%D0%B8%D0%B0%D0%B4%D0%B0_11_%D0%BA%D0%BB_2016.pdf

Любопытно было бы узнать, какое решение имел в виду автор задачи.

задан 21 Фев 15:28

2

@Казвертеночка: наверное, у них были какие-то разные рассуждения для обоих пунктов. Типа рассуждений по модулю 3, например. Правда, тут тоже одинаково получается для того и другого. Изначально было 0011. Операция с нулём ничего не меняет. А 11 переходят в 12. Из них получается 02, и дальше уже набор не меняется. А надо получить или 0100, или 2012, что невозможно.

А рассуждение по модулю 2 вроде как ничего хорошего не даёт. Кстати, если 10 заменить на 16, то уже не проходит аргумент насчёт наличия числа, делящегося на 16, потому что оно есть. А по модулю 3 рассуждение то же.

(21 Фев 15:39) falcao

@falcao, большое спасибо!

(21 Фев 16:55) Казвертеночка
2

@Казвертеночка: добавлю ещё одно доказательство. В обоих примерах числа очень близкие. По идее, такого быть не должно. Разность ab-(a+b)=(a-1)(b-1)-1 обычно достаточно большая. Здесь она <=2012-2016=6. Значит, a-1, b-1<=7, ab<=64. Поэтому те четвёрки, которые здесь даны, не могли получиться после замены a,b на a+b,ab.

(21 Фев 19:32) falcao
2

Я сейчас немного поэкспериментировал. Совершил над набором [1,3,6,10] несколько случайных преобразований. Получил [379, 437760, 6498, 3548]. Потом стал смотреть варианты в обратную сторону. Здесь 1-е и 3-е число получаются из 361 и 18, а 2-е и 4-е из 3420 и 128. Получается [361,3420,18,128]. Далее всего один вариант: 2-е и 4-е числа получились из 90 и 38. И так далее. Таким способом всё "разматывается", хотя близко к начальной позиции, где числа небольшие, возможны уже разветвления.

(21 Фев 21:32) falcao

@falcao, Вы будете смеяться, но мне тоже подумалось об этом с самого начала. В пункте б) числа вообще подряд идут, а в пункте а) - почти. Можно сформулировать такую задачу:

Можно ли получить четыре подряд идущих натуральных числа?

(21 Фев 21:59) Казвертеночка
1

@Казвертеночка: из исходной конфигурации последовательные числа не получить, что следует из сказанного выше. Но можно рассматривать какие-то другие последовательные четвёрки, которые получаются из "маленьких". Например, 7,8,9,10. Если увеличить, то там уже нет "прообразов". А здесь есть 2,5,8,9, а перед ней 1,2,5,8. А до этого могло быть только 1,1,5,8, чему уже ничего не предшествует.

Наверное, тут можно сочинить ещё какие-то "сюжеты".

(21 Фев 22:27) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×724
×82
×28
×12
×2

задан
21 Фев 15:28

показан
186 раз

обновлен
21 Фев 22:27

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru