Пусть $%G\in C([0,1]^2)$% и $%\sup_{(x,y)\in[0,1]^2} |G(x,y)|< 1$%. Доказать что для любой $%g\in C[0,1]$% существует единственная $%f\in C[0,1]$% такая что $$f(x)=g(x)+\int_0^1G(x,y)f(y)dy$$ для $%x\in [0,1]$%

Рассмотрим оператор $%F: C[a,b]\rightarrow C[a,b]$%. Пусть $%||q(x)||=\sup_{[0,1]} |q(x)|$%

$%d(\phi(y),\psi(y))=||F(\phi(y))-F(\psi(y))||=||\int_0^1 G(x,y) (\phi(y)-\psi(y))dy||$%

Можно ли норму под интеграл заносить? Почему?

Тогда получится

$%||\int_0^1 G(x,y) (\phi(y)-\psi(y))dy||\le \int_0^1 ||\phi(y)-\psi(y)||dy$%

а дальше что?

задан 21 Фев '18 21:18

изменен 22 Фев '18 0:16

1

Сжимающий оператор в полном метрическом пространстве всегда имеет ровно одну неподвижную точку.

(21 Фев '18 21:26) Амфибрахий

А где тут сжимающий оператор?

(21 Фев '18 21:28) wart
1

Попробуйте угадать с трех раз.

(21 Фев '18 21:31) Амфибрахий

Видимо, $% \phi(y)\mapsto g(x)+\int_0^1 G(x,y) \phi (y) dy$%

(21 Фев '18 21:38) wart
1

Прекрасно! Хватило одной попытки. А ведь сколько было разных вариантов оператора, и не счесть!

(21 Фев '18 23:19) Амфибрахий

Осталось понять, почему он сжимающий (внес изменения в вопрос)

(22 Фев '18 0:16) wart

@wart: по условию, |G(x,y)|<=q < 1 для любой точки. Работать надо с числом q. Норма есть sup значений по модулю. Для каждого отдельного x (переменную y надо оставить только как переменную интегрирования) надо рассмотреть неравенства с модулем, и оценить именно его. С занесением модуля по знак интеграла проблем нет. Для каждого x получится оценка с участием q. Потом по x надо взять sup, что даст оценку нормы.

(22 Фев '18 1:54) falcao

Тогда получается $%|F(\phi(y))-F(\psi(y))|=|\int_0^1 G(x,y) (\phi(y)-\psi(y))dy|\le q\int_0^1 |\phi(y)-\psi(y)|dy$%, и что это дает?

(22 Фев '18 2:09) wart

@wart: переменную надо было обозначить через x.

А даёт это ||F(phi)-F(psi)||<=q||phi-psi||, так как модуль разности функций справа не больше нормы разности. Это и есть сжимающее отображение. Оценки здесь все самые стандартные.

(22 Фев '18 12:55) falcao

Почему переменную надо обозначить через х? Это же одна из переменных G(x,y)

(23 Фев '18 4:16) wart

@wart: функции в условии зависят от x. Поэтому желательно, чтобы после преобразования они также зависели от x. По переменной "игрек" мы интегрируем, и в таких случаях обычно стараются, чтобы не было "коллизии переменных". Скажем, выражения типа $%\int_a^xf(x)\,dx$% и им подобные не приветствуются.

(23 Фев '18 14:15) falcao
показано 5 из 11 показать еще 6
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,619

задан
21 Фев '18 21:18

показан
267 раз

обновлен
23 Фев '18 14:15

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru