Множество точек в которых непрерывная функция g на отрезке [0, 1] не меньше $%\delta $%>0, имеет меру 0. g принимает только положительные значения. Нужно доказать, что супремум множества нижних интегральных сумм отличается от инфимума верхних интегральных сумм g не больше, чем на $%\delta $%>0.

задан 24 Фев '18 17:32

изменен 25 Фев '18 1:36

Если функция может принимать отрицательные значения, то это очевидным образом неверно.

(24 Фев '18 18:00) falcao
1

Верно. Я почему-то пропустил условие положительности, когда печатал условие

(24 Фев '18 20:55) Сave

@Huguenot: хорошо, будем считать, что f(x)>=0 всюду. Рассмотрим функцию, равную 0 в иррациональных точках и равную 1 в рациональных. На любом отрезке разбиения, sup f(x)=1 и inf f(x)=0. Все верхние интегральные суммы равны 1, а нижние равны 0. При delta=1/2 утверждение неверно, так как множество рациональных чисел, где f(x) > 1/2, счётно, и потому имеет меру 0.

(24 Фев '18 21:45) falcao
1

@falcao, ну так мы рассматриваем непрерывную g, чтобы была интегрируемость по Риману. Напишу это в вопросе

(25 Фев '18 1:35) Сave

насколько я понимаю, если для непрерывной функции условие $%f(x) \ge \delta > 0$% выполнено на множестве меры нуль, то это значит, что $%f(x) =\delta$% на не более чем счётном множестве, а в остальных точках $%f(x) < \delta$%....так тут для любых верхних и нижних интегральных сумм будет разность меньше, чем $%\delta$%...

(25 Фев '18 2:42) all_exist

@all_exist: замкнутое множество меры 0 может быть и несчётным -- например, канторово. Легко построить пример непрерывной функции, которая на нём равна 1, а во всех остальных точках её значения меньше.

(25 Фев '18 3:08) falcao

@falcao, ну, про счётность я ошибался...

Легко построить пример непрерывной функции - но что-то я не совсем понимаю про пример...

Если функция непрерывная функция в некоторой точке равна 1, то существует окрестность, где она имеет значение больше, чем $%0.5$%... но окрестность же не имеет меру ноль...

Где дыра в моих рассуждениях?...

(25 Фев '18 3:55) all_exist

@all_exist: окрестность есть, но здесь delta фиксированное, и нулевую меру имеет только множество, где f(x)>=1. На самом деле, там знак равенства, потому что функция из примера всюду <=1.

(25 Фев '18 4:10) falcao

@Huguenot: а почему важные для решения ограничения не даются сразу, а "всплывают" постепенно? Может быть, имело смысл давать условие в оригинале, а не в пересказе?

По поводу текущей версии: если функция интегрируема по Риману, то inf верхних интегральных сумм, как и sup верхних, есть значение интеграла. Тогда разность равна нулю.

(25 Фев '18 4:21) falcao

@falcao, Аааа... понял, что Вы имели ввиду...

Хорошо, в моём первом комментарии убрали слова про счётность... но основная мысль была в том, что ни в одной точке отрезка не выполняется неравенство $%f(x) > \delta$% ... И вывод остаётся тем же самым - разность между любыми верхними и нижними суммами не превосходит дельта...

(25 Фев '18 10:28) all_exist

@all_exist: по-моему, тут сам вопрос какой-то бессмысленный -- для интегрируемой функции разность верхнего и нижнего интегралов Дарбу будет равна нулю...

(25 Фев '18 13:49) falcao

@falcao, а почему важные для решения ограничения не даются сразу, а "всплывают" постепенно? - напоминает историю, как некий товарищ играл вроде по переписке с двумя сильным шахматистами, предлагая их ходы друг другу... Так и тут... спросил - показал преподавателю, тот уточнил вопрос - уточнили и тут... )))

(25 Фев '18 14:00) all_exist
1

@falcao, а может имело смысл все-таки использовать обозначения данные в задаче, раз вы решили прокомментировать?

(25 Фев '18 14:07) Сave
1

@all_exist, промах. Я как и вы не знаю как решить задачу, но поскольку исходное условие явно не верное пытаюсь подправить её. А преподователь тут не причем, он бы не посоветовал использовать интегрируемость по Риману

(25 Фев '18 14:11) Сave

@Huguenot: по-моему, Вы сами не знаете, какая задача тут решается, и пытаетесь по ходу дела что-то предполагать, менять условие, и так далее. Я уже сказал, что для интегрируемой функции оба интеграла Дарбу равны, их разность равна нулю, она тем самым будет меньше delta. И какую роль играют обозначения, если это всегда верно? И условие про меру 0 нигде не используется.

(25 Фев '18 16:14) falcao

@Huguenot, промах. Я как и Вы не знаю какую задачу Вы решаете... )))

(25 Фев '18 16:34) all_exist
показано 5 из 16 показать еще 11
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×73

задан
24 Фев '18 17:32

показан
331 раз

обновлен
25 Фев '18 16:34

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru