Область ограничена кривыми и прямыми у=1/х^2; у=4/х^2; у=х+1; у=х-1. Вроде бы можно сделать замену u=y*x^2; v=x-y. Пределы хорошие получаются, но как найти якобиан? Не могу выразить х и у через u и v. Может другие замены нужны ? Или вообще считать двойной интеграл (нужно посчитать двойной интеграл) простыми , обычными методами?

задан 24 Фев '18 22:18

@epimkin, а от какой функции вычисляется интеграл?...

(25 Фев '18 0:15) all_exist

@all_exist: интеграл от 1 по области -- тут площадь нужно найти.

@epimkin: есть основания подозревать, что составляли задачу на якобиан, однако не учли того обстоятельства, что обратные зависимости требуют нахождения корней кубических уравнений. Даже для нахождения точек пересечения кривых это нужно. Если решать напрямую, деля фигуру на три части, то получается сложное выражение от корней трёх разных кубических уравнений, где корни сложно выражаются по формуле Кардано и при этом ничего не сокращается. Поэтому лучше чем приближённый ответ тут трудно что-то дать.

(25 Фев '18 0:35) falcao

@falcao, интеграл от 1 по области -- тут площадь нужно найти. - из чего это следует?...

(25 Фев '18 0:45) all_exist

@all_exist: формально не следует ни из чего, но если задана область, и при этом говорится о якобиане, то надо полагать, что надо найти именно площадь. Конечно, могло быть и так, что по этой области интегрируется какая-нибудь функция, о которой не было упомянуто. Тогда можно найти якобиан "в другую сторону", и далее на него разделить. При этом функция может быть подобрана так, что всё хорошо сократится. Если всё обстоит таким образом, то задача окажется корректной.

(25 Фев '18 0:50) falcao

@falcao , @all_exist, нет, не площадь, просто посчитать интеграл. Функция (x^3-3xy^2+2y^3)/(xy)

(25 Фев '18 1:31) epimkin

Опыта нет, я думал функция не важна, а видно важна

(25 Фев '18 1:33) epimkin

@epimkin: значит, моё предположение всё-таки было правильно, и якобиан, вычисленный "в обратную сторону", на который надо разделить, всё-таки благополучно сокращается. В таком виде довольно неплохая задача получается. Тут было довольно естественно начать с вычисления "обратного" якобиана, так как он совсем просто выглядит.

(25 Фев '18 2:41) falcao
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
2

$$ I = \iint_{D_{xy}} \frac{x^3-3xy^2+2y^3}{xy}\;dx\,dy = \iint_{D_{xy}} \frac{(x-y)^2(x+2y)}{xy}\;dx\,dy $$ Замена $$ \begin{cases} \xi = x^2y \\ \eta =y-x \end{cases} \quad\Rightarrow\quad J = \frac{D(\xi;\eta)}{D(x;y)} = \begin{vmatrix} 2xy & x^2 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = x(x+2y) $$ Тогда $$ I = \iint_{D_{xy}} \frac{(x-y)^2}{x^2y}\cdot x(x+2y)\,dx\,dy =\iint_{D_{\xi\eta}} \frac{\eta^2}{\xi}\;d\xi\,d\eta $$

ссылка

отвечен 25 Фев '18 2:31

изменен 25 Фев '18 2:45

Спасибо всем, понял и кое- чему научился

(25 Фев '18 3:27) epimkin
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,262
×2

задан
24 Фев '18 22:18

показан
530 раз

обновлен
25 Фев '18 3:27

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru