Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, доказать, что кусочно-разрывная функция на отрезке интегрируема по Риману.

Я думал воспользоваться теоремой об интегрируемости непрерывной функции на отрезке и аддитивностью интеграла. Но формально говоря у нас интервалы, а не отрезки и можно ли применять аддитивность?

задан 25 Фев '18 18:51

Если функция имеет лишь конечное число точек разрыва, то она интегрируема по Риману. Это следует из критерия Лебега: множество точек разрыва интегрируемой функции должно иметь меру 0.

Здесь, конечно, можно рассуждать проще, рассматривая те разбиения, которые включают в себя конечное множество точек разрыва. Тогда при достаточно малом диаметре разбиения, на каждом из отрезочков разница между sup и inf функции будет сколь угодно малой. Это доказывается так же, как и для случая непрерывных функций.

В принципе, аддитивность использовать можно, если соответствующий факт достаточно сформулирован.

(25 Фев '18 19:23) falcao

А не могли бы Вы объяснить, пожалуйста, я правильно понимаю, что множество точек разрыва имеет меру нуль, так как их конченое число?

(25 Фев '18 19:34) Konon

@Lans: разумеется, всякое конечное множество (а также любое не более чем счётное) имеет меру 0. Это очевидный факт, и за ним "кроется" возможность покрыть точки множества интервалами со сколь угодно малой суммой длин.

(25 Фев '18 19:54) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,619

задан
25 Фев '18 18:51

показан
239 раз

обновлен
25 Фев '18 19:54

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru