Пусть дан треугольник с целочисленными сторонами: a, b, c. Отметим разбивку каждой стороны на единичные отрезки точками. Соединим вершину каждого угла с делениями на противоположной стороне прямыми линиями. Какова вероятность того, что найдётся хотя бы одна точка внутри треугольника, в которой было бы пересечение трёх проведённых прямых линий?

задан 27 Мар '13 12:05

изменен 2 Апр '13 19:41

В терминах вероятности задача поставлена некорректно, так как треугольников бесконечно много. Видимо, правильно ставить вопрос так: при каких условиях на (целочисленные) длины сторон можно провести три линии, пересекающиеся в одной точке?

(27 Мар '13 12:24) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

Здесь сразу можно сделать одно замечание, переводя задачу с геометрического языка на язык теории чисел. Достаточно применить теорему Чевы, после чего становится ясно, что требуемая конструкция существует тогда и только тогда, когда числа можно удачным образом представить в виде суммы натуральных слагаемых $%a=a_1+a_2$%, $%b=b_1+b_2$%, $%c=c_1+c_2$% таким образом, что $%a_1b_1c_1=a_2b_2c_2$%. Такая задача решается при помощи полного перебора вариантов. Изначально не вполне ясно, когда это возможно, и я не уверен, что здесь имеется какой-то совсем простой критерий. То же самое можно переформулировать в терминах уравнений: имеется ли решение для $%xyz=(a-x)(b-y)(c-z)$%, где все шесть сомножителей обязаны быть натуральными?

В терминах вероятности задача будет иметь смысл, если поставить её так. Для каждого $%N$% рассмотрим все тройки чисел вида $%(a,b,c)$% с координатами, не превосходящими $%N$%, из которых можно составить треугольник. Далее поделим число "удачных" троек (это когда линии провести можно) на число всех таких троек, получая число $%p(N)$%. Можно при этом не различать тройки, приводящие к равным (конгруэнтным) треугольникам. Например, при $%N=2$% возможны треугольники со сторонами: $%1,1,1$%; $%\ 1,2,2$%; $%\ 2,2,2$%. "Удачным" будет только последний вариант, то есть $%p(2)=1/3$%. Если существует предел последовательности $%p(N)$% при $%N\to\infty$%, то его можно принять за соответствующую вероятность.

Такого рода подход часто применяется. Например, какова вероятность того, что два произвольно взятых числа окажутся взаимно простыми? При ограничении их значений параметром $%N$% получается какой-то ответ, и в пределе он будет равен $%6/\pi^2$%, то есть около $%60\%$%.

ссылка

отвечен 27 Мар '13 13:20

изменен 27 Мар '13 18:20

Видимо, во втором произведении Ответа, в 5-ой строке должно быть $%a_2$% вместо $%a_1$%... Спасибо Вам. Думаю, что новых ответов больше не будет, а перебор вариантов - это не математическая задача, а программная, компьютерная. Но почему-то я надеялся, что помимо перебора должны быть какие-то выходы, взятые из дискретной математики или теории диофантовых уравнений. Но... "надежды юношей питают".

(27 Мар '13 17:13) nikolaykruzh...

Да, конечно, там была опечатка в нижнем индексе. Я её сейчас исправил. Здесь какой-то более быстрый алгоритм может существовать, но он всё равно как-то будет связан с перебором -- наподобие алгоритма проверки чисел на простоту.

(27 Мар '13 18:23) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×12

задан
27 Мар '13 12:05

показан
507 раз

обновлен
2 Апр '13 19:41

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru