геометрическая-вероятность - Насколько мала эта вероятность?

Здесь сразу можно сделать одно замечание, переводя задачу с геометрического языка на язык теории чисел. Достаточно применить теорему Чевы, после чего становится ясно, что требуемая конструкция существует тогда и только тогда, когда числа можно удачным образом представить в виде суммы натуральных слагаемых $%a=a_1+a_2$%, $%b=b_1+b_2$%, $%c=c_1+c_2$% таким образом, что $%a_1b_1c_1=a_2b_2c_2$%. Такая задача решается при помощи полного перебора вариантов. Изначально не вполне ясно, когда это возможно, и я не уверен, что здесь имеется какой-то совсем простой критерий. То же самое можно переформулировать в терминах уравнений: имеется ли решение для $%xyz=(a-x)(b-y)(c-z)$%, где все шесть сомножителей обязаны быть натуральными?

В терминах вероятности задача будет иметь смысл, если поставить её так. Для каждого $%N$% рассмотрим все тройки чисел вида $%(a,b,c)$% с координатами, не превосходящими $%N$%, из которых можно составить треугольник. Далее поделим число "удачных" троек (это когда линии провести можно) на число всех таких троек, получая число $%p(N)$%. Можно при этом не различать тройки, приводящие к равным (конгруэнтным) треугольникам. Например, при $%N=2$% возможны треугольники со сторонами: $%1,1,1$%; $%\ 1,2,2$%; $%\ 2,2,2$%. "Удачным" будет только последний вариант, то есть $%p(2)=1/3$%. Если существует предел последовательности $%p(N)$% при $%N\to\infty$%, то его можно принять за соответствующую вероятность.

Такого рода подход часто применяется. Например, какова вероятность того, что два произвольно взятых числа окажутся взаимно простыми? При ограничении их значений параметром $%N$% получается какой-то ответ, и в пределе он будет равен $%6/\pi^2$%, то есть около $%60\%$%.