теория-групп - Стабилизатор

Группа действует транзитивно на множестве двумерных плоскостей. Индекс стабилизатора равен длине орбиты, то есть количеству таких плоскостей. Достаточно найти порядок группы G(4,5) и разделить на число плоскостей.

Порядок группы равен (5^4-1)(5^4-5)(5^4-5^2)(5^4-5^3) по известной формуле (первый вектор-строка матрицы -- любой ненулевой; дальнейшие векторы не принадлежат линейной оболочке предыдущих, чтобы система строк была линейно независима). Базисные векторы плоскости можно выбрать (5^4-1)(5^4-5) способами. При этом получается двумерное пространство, в котором (5^2-1)(5^2-5) базисов. Поэтому каждый базис учитывается при предыдущем подсчёте именно столько раз. Значит, плоскостей будет (5^4-1)(5^4-5)/((5^2-1)(5^2-5)). Делим порядок группы на эту величину, получая (5^4-5^2)(5^4-5^3)(5^2-5^1)(5^2-5)=144000000.

К такому же ответу можно прийти по-другому. Плоскость можно выбрать произвольно, так как порядки стабилизаторов одинаковые. Пусть у точек плоскости две последние координаты равны нулю. Чтобы матрица 4x4 переводила это множество в себя, необходимо и достаточно, чтобы подматрица, образованная пересечением 3-й и 4-й строк, а также 1-го и 2-го столбцов, была нулевой. Тогда получается блочное разбиение на 4 матрицы 2x2, и две из них должны быть невырожденными, а одна произвольна. Это даёт ((5^2-1)(5^2-5))^{2}5^4, то есть столько же.