Xe и Ye - столбцы в некотором базисе e двумерного комплексного линейного пространства. Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы равенство (x,y) = (x^t)A(‾y‾) задавало скалярное произведение. (в равенстве y - сопряженное, A - матрица 2x2)


Пока что установил, что в матрице A : a11 > 0, a22 > 0, и A - эмиртова. Возникла проблема с аксиомой (x,x) > 0 судя по ответу для её выполнения необходимо, чтоб определитель A был положительным, но никак не могу понять откуда это берётся!

задан 26 Фев '18 0:00

10|600 символов нужно символов осталось
1

Пусть $$ x = \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}, \quad A=\begin{pmatrix} a & b \\ \bar{b} & c \end{pmatrix}, $$ где $%a,c\in\mathbb{R},\;\;u,v,b\in\mathbb{C}$% ...

Тогда $$ x^TA\bar{x} = ax\bar{x}+bx\bar{y}+\bar{b}\bar{x}y+cy\bar{y} \in\mathbb{R} $$ Рассмотрим неравенство при $%y\neq 0$%... $$ x^TA\bar{x} = a|x|^2+b|xy|e^{\alpha i}+\bar{b}|xy|e^{-\alpha i}+c|y|^2 > 0 $$ $$ a\left|\frac{x}{y}\right|^2+\left|\frac{x}{y}\right|\Big(be^{\alpha i}+\bar{b}e^{-\alpha i}\Big)+c > 0 $$ где $%\alpha = \arg x - \arg y$% ... Для того, что бы неравенство выполнялось при любом $%t = \Big|\frac{x}{y}\Big|$%, нужно, чтобы дискриминант был положительным... (то, что ветви вверх (то есть $%a > 0$%) уже показано ТС) ... $$ D = \Big(be^{\alpha i}+\bar{b}e^{-\alpha i}\Big)^2-4ac = \Big(b^2e^{2\alpha i}+\bar{b}^2e^{-2\alpha i}\Big) + 4(b\bar{b}-ac) > 0 $$ Последнее слагаемое - это учетверённый определитель матрицы... первое слагаемое - это некоторое действительное число, которое при любом фиксированном $%b$% можно сделать отрицательным за счёт выбора $%\alpha$% ... следовательно,
$$ 4(b\bar{b}-ac) > \Big|b^2e^{2\alpha i}+\bar{b}^2e^{-2\alpha i}\Big| > 0 $$

ссылка

отвечен 26 Фев '18 1:40

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,178
×1,163
×132
×53

задан
26 Фев '18 0:00

показан
268 раз

обновлен
26 Фев '18 1:40

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru