Пусть $%a_i\ge0$% убывающая последовательность и $%|\sum\limits_{i=0}^{n}b_i|\le C$% для всех n<N

Докажите, понатуральнее, что $%|\sum\limits_{i=0}^{n}a_ib_i|\le a_0C$% для всех n<N

задан 26 Фев '18 18:14

изменен 26 Фев '18 18:47

Преобразование Абеля же, нет?

(26 Фев '18 18:37) spades

Хочу доказать признак Дирихле(Абеля) не пользуясь лишними преобразованиями, так сказать в уме, на пальцах...

(26 Фев '18 18:44) abc
1

И в условии должно быть $%|\sum_{i=0}^jb_i| \leqslant C$% для всех j от 0 до n

(26 Фев '18 18:44) spades
10|600 символов нужно символов осталось
1

По-моему, здесь способ рассуждения более или менее один. Поскольку мы оцениваем (по модулю) выражение $%S_n=a_0b_0+\cdots+a_nb_n$%, и нам известны оценки частичных сумм последовательности $%b$%, то нужно это выражение разложить по "базису" $%c_0=b_0$%, $%c_1=b_0+b_1$%, ... , $%c_n=b_0+b_1+\cdots+b_n$%. Обратное преобразование здесь одно: $%b_0=c_0$%, $%b_1=c_1-c_0$%, ... , $%b_n=c_n-c_{n-1}$% при $%n\ge1$%.

Подставим эти выражения: $%S_n=a_0c_0+a_1(c_1-c_0)+\cdots+a_n(c_n-c_{n-1})=(a_0-a_1)c_0+\cdots+(a_{n-1}-a_n)c_{n-1}+a_nc_n$%. Это и есть "преобразование Абеля".

Теперь по неравенство треугольника имеем оценку модуля $%|S_n|\le(a_0-a_1)C+(a_1-a_2)C+\cdots+(a_{n-1}-a_n)C+a_nC=a_0C$%.

ссылка

отвечен 26 Фев '18 21:21

Я пробовал доказать индукцией. Не уверен что правильно, получилось что-то странное...

(26 Фев '18 22:56) abc
1

@abc: я тоже думаю, что странное. Вы говорили о "прозрачном" доказательстве, а оно основывается на том, что обратным преобразованием к "треугольному" является взятие разностей соседних сумм. Это вполне "прозрачно".

(26 Фев '18 23:11) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

Неверно. Пусть $%n=2, b_0=3, b_1=-2, a_0=1, a_1=0,5, C=1$%. Тогда ваше неравенство не катит.

ссылка

отвечен 26 Фев '18 18:36

изменен 26 Фев '18 18:43

3

В условии должно быть $%|\sum_{i=0}^jb_i| \leqslant C$% для всех j от 0 до n

(26 Фев '18 18:43) spades

Неравенство |b0|<=C тоже должно учитываться.

(26 Фев '18 21:10) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

alt text

ссылка

отвечен 26 Фев '18 22:55

Тут от формул просто "рябит в глазах". Зачем так сложно рассуждать?

(26 Фев '18 23:09) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×246
×184

задан
26 Фев '18 18:14

показан
298 раз

обновлен
26 Фев '18 23:11

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru