Назовем расстоянием между числами модуль их разности. Известно, что сумма расстояний от тридцати трёх последовательных натуральных чисел до некоторого числа $%a$% равна $%3168$%, а сумма расстояний от этих же тридцати трёх чисел до некоторого числа $%b$% равна $%924$%. Найдите все возможные значения $%a$%, если известно, что $%a + b = 120$%.

задан 26 Фев '18 20:38

10|600 символов нужно символов осталось
2

Пусть $%n$%, $%n+1$%, ... , $%n+32$% -- это 33 последовательных натуральных числа. Если точка $%x$% принадлежит отрезку $%[n,n+32]$%, то сумма расстояний от неё до этих чисел находится между значениями $%32\cdot16=512$% и $%33\cdot16=528$%. Минимум достигается в средней точке; максимум -- на концах. Обосновать это достаточно просто: если точка находится посередине, то сумма расстояний будет равна $%512$% (на каждую из 16 пар сгруппированных точек приходится 32). Если начать двигать точку, например, вправо, то суммарное расстояние будет увеличиваться, так как точка отдаляется на некоторое расстояние $%d$% от большего числа точек, нежели того числа, к которым точка на это же расстояние приближается.

Таким образом, каждая из точек $%a$%, $%b$% расположена либо правее $%n+32$%, либо левее $%n$%. Рассмотрим случай, когда $%a$% находится правее. Сумма расстояний равна $%3168=(a-n)+(a-(n+1))+\cdots+(a-(n+32))=33(a-n)-\frac{32\cdot33}2$%. Сокращая на $%33$%, имеем $%96=a-n-16$%, то есть $%a-n=112$%. Для точки $%b$%, если она расположена правее, аналогично получаем $%924=33(b-n)-\frac{32\cdot33}2$%, откуда $%b-n=44$%.

Теперь пусть точка $%a$% расположена левее $%n$%. Тогда в предыдущем равенстве с участием числа 3168 поменяется знак правой части, откуда получится $%-3168=\ldots$%, и будет $%-96=a-n-16$%, то есть $%a-n=-80$%. Для точки $%b$%, расположенной левее $%n$%, получится $%b-n=-12$%.

Рассматривая 4 случая и решая систему с учётом $%a+b=120$%, получаем три варианта (один пропадает, так как там $%n$% будет отрицательным): $%n=10$%, $%a=122$%, $%b=-2$%; $%n=78$%, $%a=-2$%, $%b=122$%; $%n=106$%, $%a=26$%, $%b=94$%.

ссылка

отвечен 26 Фев '18 23:04

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,699

задан
26 Фев '18 20:38

показан
707 раз

обновлен
26 Фев '18 23:04

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru