log(2)((x+sqrt(4+x^2))/(2x+1+sqrt(4x^2+4x+2))) = 15x+11

Логарифм по основанию 2 дроби - пояснение

Вот такое вот уравнение

задан 26 Фев 22:53

10|600 символов нужно символов осталось
2

$$\log_2\frac{x+\sqrt{4+x^2}}{2x+1+\sqrt{4x^2+4x+2}}=15x+11$$

Начать можно с того, что числитель и знаменатель положительны, так как $%\sqrt{4+x^2} > \sqrt{x^2}=|x|\ge-x$% и $%\sqrt{4x^2+4x+2} > \sqrt{4x^2+4x+1}=|2x+1|\ge-(2x+1)$%. Можно также заметить, что функция $%f(t)=t+\sqrt{1+t^2}$% возрастает (легко проверяется при помощи производной), а выражение под знаком логарифма имеет вид $%\frac{2f(x/2)}{f(2x+1)}$%. Вычитаем по единице из обеих частей, что даёт $%\log_2\frac{f(x/2)}{f(2x+1)}=5(3x+2)$%.

Левая часть положительна $%\Leftrightarrow f(x/2) > f(2x+1)\Leftrightarrow x/2 > 2x+1\Leftrightarrow x < -\frac23$%. Правая часть при этом условии отрицательна. При $%x > -\frac23$% левая часть отрицательна, а правая положительна. При $%x=-\frac23$% обе части равны нулю, что даёт единственное решение.

ссылка

отвечен 26 Фев 23:45

@falcao, мне уравнение понравилось, когда его увидел ( с решением, но несколько другим- завтра опубликую) Мне то решение тоже понравилось

(27 Фев 0:24) epimkin

Оно похожее

(27 Фев 0:26) epimkin

@epimkin: я думаю, задача намеренно так составлена, что имеется связь между формой числителя и знаменателя. Из этой идеи всё довольно быстро получается. Легко составить много других задач с аналогичной идеей.

(27 Фев 0:33) falcao

@falcao, там уравнение приводится к виду такому, что можно использовать, что f(x/2)=f(2*x+1)

(27 Фев 0:51) epimkin

@epimkin: по идее, так действительно можно сделать, выразив 15x+11 через x/2 и 2x. Можно, например, сначала привести уравнение к показательной форме.

(27 Фев 0:54) falcao

@falcao , я завтра отвечу

(27 Фев 0:55) epimkin
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×482

задан
26 Фев 22:53

показан
95 раз

обновлен
27 Фев 0:55

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru