Можно ли натуральные числа от 1 до 2018 расположить в ряд так, чтобы сумма любых пяти из них, стоящих через два (например, первого, 4-го, 7-го, 10-го и 13-го), делилась на 13?

задан 27 Фев 1:03

10|600 символов нужно символов осталось
2

Нельзя. Сума каждых 15 идущих подряд чисел должна делится на 13 (т.е первое+ второе+...+ пятнадцатое делится на 13. Тоже самое, если со второго начать и т.д.). Для первых 15 чисел запишем остатки от их деления на 13. Дальше остатки будут периодически повторятся с периодом равным 15 (16-ое число дает такой же остаток как и первое, 17-ое такой же остаток как и второе и т.д.). Среди первых 15 чисел найдется такое, которое дает такой остаток, какой не дает ни одно другое число среди этих 15 (ибо если бы все остатки встречались минимум 2 раза, то некоторые вообще не встречались бы и поэтому редкого остатка было бы всего максимум 8 штук на всю последовательность, а должно быть сто с гаком). Значит среди всех чисел этот остаток встретится не больше, чем 142=134+8 раз ($%2018=134 \cdot 15+8$%). Но каждый остаток должен встречатся не менее, чем 155 раз ($%2018=155 \cdot 13+3$%). Или вот второй способ. Он немного проще. Среди первых 15 чисел хотя бы один остаток повторится дважды. Тогда этот остаток встретится не менее 268 раз. Но должен встретится не больше, чем 158 раз.

ссылка

отвечен 27 Фев 1:54

изменен 27 Фев 2:33

1

Можно также заметить, что среди 15 чисел какой-то остаток встретится как минимум дважды, и тогда он встречается слишком часто даже без учёта последних 8 чисел.

(27 Фев 2:01) falcao

@Witold2357, @falcao, большое спасибо!

(27 Фев 2:12) Казвертеночка

Кстати, @Witold2357, вот этот момент не совсем понятен:

" Среди первых 15 чисел найдется такое, которое дает такой остаток, какой не дает ни одно другое число среди этих 15. "

(27 Фев 2:22) Казвертеночка

@Казвертеночка: там, скорее всего, имелось в виду, что какой-то остаток встретится не более чем один раз, а тогда он в целом встречается недостаточно часто.

(27 Фев 2:42) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×619
×136
×135
×69
×19

задан
27 Фев 1:03

показан
164 раза

обновлен
27 Фев 2:42

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru