геометрия - Найти радиус окружности, вписанной в трапецию

Первый способ решения: воспользуемся свойством касательных к окружности. Проведя высоту трапеции через центр окружности, мы получим прямоугольную трапецию с высотой $%2r$%, где $%r$% -- радиус вписанной окружности, у которой основания равны $%a$%, $%b$%, и боковая сторона равна $%a+b$%. В этой ситуации высоту легко найти, разрезав полученную прямоугольную трапецию на прямоугольник и прямоугольный треугольник. Пусть для определённости $%a < b$%. Тогда гипотенуза треугольника равна $%a+b$%, а катеты равны $%b-a$% и $%2r$%. Применяем теорему Пифагора: $%(a+b)^2=(b-a)^2=(2r)^2$%, откуда $%r=\sqrt{ab}$%.

Второй способ: обозначим трапецию через $%ABCD$%, где $%AB=a+b$%, и пусть $%O$% -- центр вписанной окружности. Длина перпендикуляра, опущенного из точки $%O$% на отрезок $%AB$%, равна $%r$%. Проверим, что треугольник $%ABO$% прямоугольный. В самом деле, сумма углов трапеции при вершинах $%A$% и $%B$% составляет $%180^{\circ}$%, а на наш треугольник приходится ровно половина от этой величины, так как лучи $%AO$% и $%BO$% будут биссектрисами углов трапеции.

Далее можно воспользоваться свойством высоты прямоугольного треугольника, опущенного из вершины прямого угла. Она равна среднему геометрическому длин отрезков, на которые основание высоты разбивает гипотенузу, то есть $%r=\sqrt{ab}$%.