Не применяя правило Лопиталя вычислить предел:

$$\lim\limits_{x\to 2} \dfrac{2x^4-9x^3+6x^2+20x-24}{3x^4-14x^3+12x^2+24x-32}$$

Как тут выкрутиться? Начать раскладывать двух этих монстров на множители? Или существует обходной путь?

задан 27 Фев 12:01

1

Называть деление на x-2 разложением на множители, как минимум, нечестно. Если хотите, то можете замену сделать t=x-2, но на глаз поделить быстрее будет.

(27 Фев 12:48) spades
1

Нужно использовать схему Горнера, и последовательно делить на x-2 то числитель, то знаменатель. Этого всё равно не избежать, но такая процедура проще полного разложения на множители. Примерно как для случая чисел, где разложить на простые множители может быть сложно, а выделить максимальную степень двойки или тройки -- существенно проще.

Ещё можно сделать замену y=x-2 и разложить по степеням x-2, но для этого также применяется "кратно" применяемая схема Горнера.

(27 Фев 13:22) falcao

@falcao, большое спасибо!

(27 Фев 16:13) Казвертеночка
2

Ну кстати есть примеры когда замена чуть ли не единственный вариант. Вот здесь: $%\lim\limits_{z \to 1} {\frac {{z}^{n+1}{n}^{2}-2\,{z}^{n+2}{n}^{2}+{z}^{n+3}{n}^{2}+2\,{z}^{ n+1}n-2\,{z}^{n+2}n+{z}^{n+1}+{z}^{n+2}-{z}^{2}-z}{ \left( z-1 \right) ^{3}}} $%

делить как-то рука не поднимается. Ну а замену сам Бог прописал.

(27 Фев 17:15) abc
1

@abc: я не понял, что Вы имеете в виду. Поделить несколько раз на z-1, это понятно, хотя технически не слишком просто. Но что делать с заменой? Там же будет куча биномиальных коэффициентов.

(27 Фев 17:29) falcao
1

Ну кучи как раз не будет. Нужно учесть лишь четыре первых коэффициента при степенях 0,1,2,3 у каждой переменной. Остальные сразу же отбрасываем так как они не влияют на результат ибо степени переменной стремящейся к нулю при них слишком большие.

Насчет деления там же получается куча слагаемых в частном. И их надо тащить три раза (мы же делим три раза). В итоге они все сократиться должны я правильно понял? Я боюсь даже пытаться выписывать частное, не знаю может стоит попробовать...

(27 Фев 17:42) abc
1

@abc: мне трудно оценить степень сложности вычислений в том и в другом случае, так как я их не проделывал. Согласен, что способ с заменой выглядит достаточно приемлемым с учётом того, что коэффициенты можно брать не все. Однако здесь я бы предпочёл делать всё через третью производную -- на манер того, как вычисляют вычеты для полюсов "высокого" порядка.

(27 Фев 17:54) falcao
1

То есть пролопиталить числитель и знаменатель три раза? Хороший вариант, хоть и запрещен автором.

Выписал частное для n=7 это $%7^2z^7+6^2z^6+5^2z^5+4^2z^4+3^2z^3+2^2z^2+z$%. Получаются комбинторные суммы которые надо уметь находить. Так что метод деления концептуально сложнее метода замены, а не только технически.

(27 Фев 18:00) abc
1

@abc: ограничение на использование правила Лопиталя было вообще-то только в исходной задаче. Но здесь можно сказать, что оно и не применялось -- ведь при нахождении вычетов его никто даже не упоминает. Так или иначе, можно предложить ещё один способ в духе линейной алгебры, рассматривая остатки от деления на (z-1)^3. Для базисных многочленов вида z^n закономерность легко усматривается, и доказывается по индукции. А потом применяем линейный оператор к числителю, и это даёт несложное вычисление с многочленами от n.

(27 Фев 18:27) falcao
1

Ну раз уж мы так подробно рассмотрели эту задачу, расскажу откуда она возникла. Это оригинальный метод вычисления суммы квадратов (того самого частного которое я старательно выписывал:)

$%\sum\limits_{k=0}^n k^2 = (\sum\limits_{k=0}^n e^{kx})''|=(\frac{1-e^{kx(n+1)}}{1-e^{x}})''|_{x=0}=...$%

но к сожалению производная в нуле не существует у последнего выражения. Поэтому и приходится рассматривать тот самый предел: $%(\sum\limits_{k=0}^n e^{kx})''|_{x=0}=\lim\limits_x ((\frac{1-e^{x(n+1)}}{1-e^x})'')=...$%

(27 Фев 18:42) abc
показано 5 из 10 показать еще 5
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×673
×625
×4
×3
×2

задан
27 Фев 12:01

показан
195 раз

обновлен
27 Фев 19:00

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru