Помогите решить задачу. $$\large{4\sin{x}+2\cos{x}=2+3\textrm{tg}\;x.}$$ Источник: "Математика - абитуриенту" В.В. Ткачука (17-е изд.), стр. 115, №12 [3]. Тема урока: группировка и разложение на множители. Ответ: $$(-1)^n\displaystyle{\frac{\pi}{6}}+\pi n,\;\;\;\;2\pi n,\;\;\;\;-2\textrm{arctg}\displaystyle{\frac{1}{2}}+2\pi n,\;\;\;\;n\in Z.$$

задан 27 Фев '18 23:17

10|600 символов нужно символов осталось
2

Если поменять местами $%2$% и $%2 \cos x$%, после чего домножить обе части на $%2 \cos x$%, а затем в правой части прибавить и вычесть $%3$%, то уравнение запишется в виде $$4 \cos⁡ x (2 \sin ⁡x - 1) = 3(2 \sin ⁡x - 1) + (3 - 4 \cos^2⁡ x).$$ При этом $%3 - 4 \cos^2⁡ x = 4 \sin^2⁡ x - 1 = (2 \sin⁡ x-1)(2 \sin ⁡x + 1),$% и после упрощений $$(2-2 \cos⁡ x + \sin ⁡x )(2 \sin⁡ x - 1) = 0.$$ Первый сомножитель можно разложить на множители: $$(2-2 \cos ⁡x) + \sin⁡ x = 4 \sin^2⁡ \frac{x}{2}+2 \sin⁡ \frac{x}{2} \cos⁡ \frac{x}{2} = 2 \sin \frac{x}{2} \left( 2 \sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2} \right),$$ причём $$2 \sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2} = \sqrt{5} \sin \left( \frac{x}{2}+ arctg⁡ \frac{1}{2} \right).$$ Отсюда получаются все серии корней.

ссылка

отвечен 28 Фев '18 3:40

изменен 28 Фев '18 3:44

@splen, спасибо, очень красиво и соответствует названию урока.

(28 Фев '18 14:22) Don_Eduardo
10|600 символов нужно символов осталось
2

Перенесите двойку в левую часть, а 2соsx - в правую. Возведите обе части в квадрат. Все сократится на синус. Дальше у вас получится кубическое уравнение относительно синуса. Но вы же знаете ответ и поэтому выделете один из корней, чтобы кубическое уравнение привести к квадратному.

ссылка

отвечен 27 Фев '18 23:58

@Witold2357: при таком способе понадобится ещё проверка корней.

(28 Фев '18 0:24) falcao

@Witold2357, подразумевается, что ответ неизвестен. Но всё равно спасибо (хотя обычно задача проверки решений в тригонометрических уравнениях и неравенствах сложнее, чем все действия, которые были до неё. Например, в задаче $$\large{\frac{1}{\sin{x}}-\frac{1}{\cos{x}}=2\sin{\frac{\pi}{4}}}$$ очень хочется возвести обе части в квадрат, но потом будет очень плохо :))

(28 Фев '18 14:26) Don_Eduardo
10|600 символов нужно символов осталось
2

Все участвующие в уравнении функции могут быть выражены через тангенс половинного угла $%t=\tan\frac{x}2$%. Для начала заметим, что эта замена здесь возможна, и не происходит потери корней, так как $%\cos\frac{x}2\ne0$%. В самом деле, если $%\cos\frac{x}2=0$%, то $%\sin x=0$%, $%\tan x=0$%, и $%\cos x=2\cos^2\frac{x}2-1=-1$%, то есть равенство из условия не выполняется.

Подставляя выражения $%\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}$%, $%\sin x=\frac{2t}{1+t^2}$%, $%\tan x=\frac{2t}{1-t^2}$%, имеем равенство $%\frac{8t+2-2t^2}{1+t^2}=\frac{2-2t^2+6t}{1-t^2}$%, следствием чего является уравнение $%(t^2-4t-1)(t^2-1)+(t^2-3t-1)(t^2+1)=0$%, упрощаемое до $%t(2t^3-7t^2-2t+1)=0$%. При этом условие $%t^2\ne1$% выполнено автоматически, так как числа $%t=\pm1$% корнями уравнения не являются.

У кубического уравнения есть рациональный корень, который можно найти при помощи схемы Горнера. Это приводит к разложению на множители $%t(2t+1)(t^2-4t+1)=0$%.

При $%t=0$% получается $%x=2\pi n$%, при $%t=-\frac12$% будет $%x=-2\arctan\frac12+2\pi n$%, где $%n\in\mathbb Z$%. Заметим, что $%2\arctan\frac12=\arctan\frac43=\arcsin\frac45=\arccos\frac35$%, что проверяется непосредственно.

Теперь пусть $%t=2\pm\sqrt3$% для двух оставшихся корней. Здесь всё так же точно выражается через арктангенсы, но это не лучшая форма ответа. Поскольку $%1+t^2=4t$%, как следствие имеем $%\sin x=\frac{2t}{1+t^2}=\frac12$%, причём одно условие равносильно другому. Решая уравнение с синусом, имеем ещё одну серию $%x=(-1)^m\frac{\pi}6+\pi m$%, где $%m$% целое.

ссылка

отвечен 28 Фев '18 0:22

@falcao, спасибо. Отчаявшись, я применил универсальную тригонометрическую подстановку и действительно $%t=0$% находится. Но затем я (почему-то) подумал, что раз у кубического уравнения корни не угадываются, то путь неправильный. Совсем уже обнаглел)

(28 Фев '18 14:21) Don_Eduardo
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×97

задан
27 Фев '18 23:17

показан
258 раз

обновлен
28 Фев '18 14:26

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru