Найти представление группы $%C_2\times C_4$% двумя образующими. (Доказать, что группа с найденным представлением изоморфна $%C_2\times C_4$%)

задан 28 Фев '18 8:15

@Slater: имеется в виду presentation? Если да, то тут всё очевидно. Образующие a,b; определяющие соотношения a^2=1, b^4=1, ab=ba.

Термин "представление" вообще-то соответствует английскому "representation".

(28 Фев '18 14:55) falcao

Да, presentation. Ну еще имеется в виду формально доказать что группа с таким представлением (то есть фактор свободной группы с 2 образующими по нормальной подгруппе порожденной соотв. элементами) изоморфна C_2xC_4

(28 Фев '18 20:33) Slater

А как тогда перевести presentation, если представление - это representation?

(1 Мар '18 2:48) Slater

@Slater: очень хороший вопрос.

Я сам работаю именно в этой области -- комбинаторная теория групп, то есть их задание при помощи образующих и определяющих соотношений. Многие именно так и говорят. Коротко -- "задание группы". С некоторых пор появился термин "копредставление", и я считаю его очень удачным. Сам широко употребляю. Был смешной случай, когда мою статью переводили на английский, делал это "специалист широкого профиля", и он перевёл это как "coreprsentation" :) Такого слова, конечно, нет.

Ещё было предложение Ю.И.Мерзлякова говорить о "генетическом коде" группы. Но оно не прижилось.

(1 Мар '18 3:18) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

По поводу формального доказательства. Достаточно построить два взаимно обратных гомоморфизма. Сначала строим отображение $%a\mapsto(x,1)$%, $%b\mapsto(1,y)$%, где $%G=\langle x\rangle_2\times\langle y\rangle_4$%. Продолжаем его до гомоморфизма свободной группы $%\mathbb F_2$% в $%G$%. Проверяем, что элементы $%a^2$%, $%b^4$%, $%[a,b]=a^{-1}b^{-1}ab$% принадлежат ядру, что тривиально. Пропускаем этот гомоморфизм через $%N$% (нормальное замыкание трёх определяющих соотношений). Получили гомоморфизм из группы $%\langle a,b\mid a^2=b^4=a^{-1}b^{-1}ab=1\rangle$% в $%G$%.

Теперь строим обратный гомоморфизм. Для циклической группы, достаточно перевести её образующий порядка $%n$% в любой элемент, который в $%n$%-й степени равен единице. Полагаем $%x\mapsto aN$%, $%y\mapsto bN$% для каждого из прямых слагаемых по отдельности. Далее применяем известный факт, что если есть два гомоморфизма $%\phi_1\colon H_1\to H$% и $%\phi_2\colon H_2\to H$%, где элементы подгрупп $%\phi_1(H_1)$% и $%\phi_2(H_2)$% попарно коммутируют, то правило $%\phi(h_1,h_2)=\phi_1(h_1)\phi_2(h_2)$% задаёт гомоморфизм $%\phi\colon H_1\times H_2\to H$%. Последнее легко проверяется через определение. Ввиду того, что подгруппы, порождённые $%aN$% и $%bN$%, удовлетворяют условию коммутирования (ввиду наличия соотношения $%[a,b]=1$%), отсюда получается гомоморфизм из прямого произведения $%G$% в группу, заданную образующими и соотношениями.

То, что композиции построенных гомоморфизмов (в обе стороны) дают тождественные отображения, следует из построения (достаточно проверить тождественность на образующих). В итоге получается изоморфизм.

Это формальное рассуждение стандартно, но оно довольно длинное, а по сути происходит следующее. Мы берём прямое произведение, выбираем его порождающие, обозначаем их буквами. Сразу замечаем некие "очевидные" соотношения между ними. Как проверить, что их достаточно, то есть мы в самом деле учли всё "существенное"? Вдруг какие-то "скрытые" соотношения нами были не замечены -- в этом здесь основная "интрига".

Проверяется это так: при помощи применения учтённых соотношений, мы в любом групповом слове (произведении букв $%a^{\pm1}$% и $%b^{\pm1}$%) сначала переставляем буквы, перегоняя все $%a$% влево и $%b$% вправо. Здесь используется соотношение $%ba=ab$%, а также его следствия вида $%b^{\pm1}a^{\pm1}=a^{\pm1}b^{\pm1}$%. Получаем произведение степени $%a$% и степени $%b$%. Применяя соотношения $%a^2=1$% и $%b^4=1$%, приводим слово к виду $%a^sb^t$%, где $%s\in\{0,1\}$%, $%t\in\{0,1,2,3\}$%. А это есть стандартная (нормальная) форма элементов прямого произведения. Отсюда следует, что мы всё нужное учли.

ссылка

отвечен 28 Фев '18 22:25

Как из $%[a,b]=1$% следует, что элементы подгрупп, порожденных $%aN, bN$% коммутируют?

(1 Мар '18 0:16) Slater
1

@Slater: яркий пример того, когда некий очевидный комбинаторный факт становится "неочевидным" после абстрактно-формального переложения. Суть только в том, что у нас есть соотношение ab=ba, и это значит, что a и b можно переставлять. Формально, [a,b] принадлежит N <=> abN=baN <=> (aN)(bN)=(bN)(aN). Смежные классы перестановочны в фактогргруппе. Их степени также перестановочны. Это и есть в точности то, что утверждалось.

"Мораль": абстрактное в больших дозах "несъедобно" и "вредно" :)

(1 Мар '18 0:48) falcao

1) Не очень понятна импликация aba^{-1}b^{-1} лежит в N => abN=baN. Я вижу только что abN=ba и baN=ab.

2) Верно ли что импликация abN=baN => (aN)(bN)=(bN)(aN) следует из того, что имеется гомоморфизм F_2->F_2/N (и тогда abN=(aN)(bN) и baN=(bN)(aN), а раз abN=baN, то (aN)(bN)=(bN)(aN))? Обратная импликация вроде из тех же соображений следует.

(1 Мар '18 2:36) Slater
1

1) По-моему, Вы забыли самые элементарные свойства смежных классов. Если h принадлежит N, это равносильно hN=N. Равенства типа abN=ba вообще бессмысленны -- элемент равен смежному классу.

2) Импликация следует из определения факторгруппы. Это изучается ещё до гомоморфизмов. Когда мы переменожаем два смежных класса, то перемножаются их представители. То есть формула (aN)(bN)=abN верна всегда, и именно по этой причине получается гомоморфизм, называемый естественным. Всё то, о чём Вы сейчас спросили, относится к области "азбуки".

(1 Мар '18 2:41) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,521

задан
28 Фев '18 8:15

показан
313 раз

обновлен
1 Мар '18 3:18

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru