Найти наибольшее значение дроби $$\frac{ab+bc+cd}{a^2+b^2+c^2+d^2}.$$

задан 28 Фев '18 17:42

10|600 символов нужно символов осталось
2

По неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим, (AM-GM) имеем:$$ ab \leqslant \frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{5} + 1}{2}a^2 + \frac{\sqrt{5} - 1}{2}b^2\right),\\ bc \leqslant \frac{1}{2}(b^2 + c^2),\\ cd \leqslant \frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{5} - 1}{2}c^2 + \frac{\sqrt{5} + 1}{2}d^2\right), $$ тогда$$ ab +bc +cd \leqslant \frac{\sqrt{5} + 1}{4}(a^2 + b^2 + c^2 + d^2). $$ Причем равенство достижимо.

ссылка

отвечен 28 Фев '18 18:57

3

Возможных способов для решения здесь очень много. Там и преобразования квадратичных форм, и метод Лагранжа, и тригонометрические замены. Изначально было непонятно, какой именно выбрать. Я пришёл к такому же ответу, но решал очень долго. И способ был выбран, мягко говоря, не лучший. Здесь же всё коротко, элегантно, убедительно, с использованием самых простых средств.

(28 Фев '18 19:05) falcao
3

У этой задачи красивый ответ: $%\Large\cos\frac{\pi}5$%.

Более того, $$\Large\frac{a_1a_2+a_2a_3+...+a_{n-1}a_n}{a_1^2+a_2^2+...+a_n^2}\le\cos\frac{\pi}{n+1}.$$

(28 Фев '18 21:54) EdwardTurJ

@goldish09, в чем смысл задавать задачу на другом сайте и перепечатывать решение? [1]: http://math.stackexchange.com/questions/2670601/find-the-largest-value-of-fracabbccda2b2c2d2

(28 Фев '18 22:14) Sergic Primazon

@Sergic Primazon: Мне эта задача понравилась. Как и ЭТО решение.

(28 Фев '18 22:22) goldish09

@goldish09, эту задачу опубликовал @EdwardTurJ на этом сайте. И приводить надо свои решения, а не чужие.

(28 Фев '18 22:27) Sergic Primazon
(28 Фев '18 22:29) goldish09

@falcao: почему там (sgrt5+1)/2 и (sqrt5-1)/2 откуда мы знаем? Если можно,заранее спасибо.

(22 Июн '18 0:58) kerim
1

@kerim: эти коэффициенты подбираются, чтобы работали все неравенства, и следовал нужный вывод. Прежде всего, в произведении они дают 1. Отсюда следуют неравенства о среднем. Далее мы их складываем, следя за тем, чтобы коэффициент при всех одночленах был один и тот же. И в этом качестве годится именно то, что написано. А если мы сразу этого не знаем, то берём числа q и 1/q, а потом уже из условия равенства коэффициентов получаем уравнение на q. Но это уже внутренняя "кухня" доказательства. Она для понимания правильности решения не обязательна.

(22 Июн '18 1:42) falcao
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×238
×41

задан
28 Фев '18 17:42

показан
5649 раз

обновлен
22 Июн '18 1:42

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru