Пусть $%F$% - свободная группа на $%\{x,y\}$%. Доказать что $%u=x^2,v=y^2,z=xy$% порождают подгруппу изоморфную свободной группе на $%\{u,v,z\}$%

задан 28 Фев '18 21:19

10|600 символов нужно символов осталось
1

Способов доказательства здесь имеется много. В простейших случаях типа $%u=x^3$%, $%v=y^2$% берётся непустое приведённое групповое слово от переменных $%u$%, $%v$%. После подстановки $%u\to x^3$%, $%v\to y^2$%, не происходит никаких сокращений в слове. Значит, между $%u$% и $%v$% не имеется нетривиальных соотношений. Это и значит, что данные элементы являются базисом свободной группы.

Чуть более сложный случай: $%u=x^3$%, $%v=xyx$%. Здесь сокращения могут происходить -- например, в словах $%uv^{-1}u$% или $%v^{-1}uv$%. Однако от слов $%u^{\pm1}$%, $%v^{\pm1}$% всегда остаётся "ядро", то есть непустое подслово, которое ни с чем не сокращается. (В данном примере это касается слова из средней буквы.) В итоге снова получается, что нетривиальное приведённое групповое слово от $%u$%, $%v$% после подстановки не сократится целиком.

В условии задачи ситуация чуть сложнее, так как в слове $%u^{-1}zv^{-1}$% подслово $%z=xy$% полностью исчезает. Для исправления такой ситуации можно использовать преобразования Нильсена (подробно об этом можно прочитать в начале книги Линдона и Шуппа "Комбинаторная теория групп").

Идея состоит в замене базиса, аналогично гауссовым преобразованиям в линейной алгебре. Пусть имеется некоторая конечная система порождающих группы. Рассматриваем элементарные преобразования двух видов. Первое: замена любого из образующих на обратный ему. Второе: домножение одного из образующих слева или справа на другой образующий (типа, $%a$%, $%b$%, ... переходит в $%ab$%, $%b$%, ... ; меняется только один элемент). Такие преобразования можно применять друг за другом любое число раз. Они переводят систему образующих в систему образующих (по причине того, что все эти преобразования обратимы). Нетрудно проверить, что если система была базисом свободной группы, то новая система также будет базисом той же группы.

В системе из условия задачи можно от $%u$%, $%v$%, $%z$% перейти к $%u$%, $%v^{-1}=y^{-2}$%, $%z$%, и далее к $%u=x^2$%, $%w=zv^{-1}=xy^{-1}$%, $%z=xy$%. У слов новой системы $%u$%, $%w$%, $%z$% появляются "ядра": а именно, вторые буквы каждого из слов не сокращаются в приведённых групповых словах от $%u$%, $%w$%, $%z$%.

Наконец, есть симпатичное доказательство, основанное на геометрических соображениях. Нарисуем размеченный граф (автомат), состоящий из трёх окружностей, склеенных в одной общей точке. На каждой окружности напишем одно из слов $%u=x^2$%, $%v=y^2$%, $%z=xy$%. Каждое ребро графа имеет направление и метку.

Далее сделаем полученный автомат детерминированным. Это означает следующее: если из какой-то вершины графа исходит два ребра с одной и той же меткой (положительной или отрицательной), то склеиваем эти рёбра. При этом концы рёбер также отождествляются. Такой процесс за конечное число шагов ведёт к детерминированному автомату. Склейки ("фолдинги") соответствуют сокращениям слов в свободной группе.

Применительно к условию задачи, после двух склеек получается граф с двумя вершинами и 4 направленными рёбрами, их соединяющими. Метки этих рёбер равны $%x$%, $%y$%, $%x^{-1}$%, $%y^{-1}$%. Пусть $%o$% -- та исходная вершина, в которой были склеены наши окружности. Построенный автомат обладает таким свойством: приведённое слово читается на некотором пути из $%o$% в $%o$% тогда и только тогда, когда оно принадлежит подгруппе $%H$%, порождённой теми словами, которые были выбраны в качестве меток окружностей. Конструкция это совершенно общая, и её можно применять для любых подгрупп.

Легко видеть, что в графе имеется три "независимых цикла". Это соответствует тому, что группа имеет три свободных образующих. Более формально, в графе выбирается одно из возможных максимальных поддеревьев. Далее с каждым положительным рёбром связываем слово: идём по рёбрам поддерева из $%o$% в начало $%e$%, проходим ребро $%e$%, и из его конца идём по дереву назад в $%o$%. Построенная таким способом система слов будет базисом подгруппы (что, в частности, доказывает теорему Шрайера о подгруппах свободных групп).

Хорошее современное изложение этой техники можно нафти в книге О.В.Богопольского "Введение в теорию групп". Можно также отметить, что подгруппа из условия задачи -- это в точности подгруппа слов чётной длины в свободной группе с базисом $%x$%, $%y$%. Она является нормальной, и имеет индекс 2 во всей группе. Второй смежный класс состоит из всех слов нечётной длины.

ссылка

отвечен 1 Мар '18 0:44

Что-то непонятна мораль доказательства с преобразованиями Нильсена. Изначально что требуется доказать? Что в любом приведенном слове от u,v,z нет сокращений какого-то определенного типа? Какого? Почему достаточно того, что вторые буквы не сокращаются после сделанных преобразований?

(2 Мар '18 1:13) Slater

@Slater: если Вас интересует этот вопрос в более широком аспекте, то можете посмотреть у Линдона и Шуппа. Для доказательства достаточно иметь такую систему порождающих, где каждое слово имеет непустое "ядро". Оно не должно сокращаться ни в каких произведениях. Тогда если мы берём любое непустое приведённое групповое слово от u,v,z, то оно не может сократиться целиком, и потому не равно 1. А это и значит, что группа, порождённая u,v,z, свободна от соотношений между этими элементами.

(2 Мар '18 1:29) falcao

"такую систему порождающих, где каждое слово имеет непустое "ядро"" -- в смысле каждое приведенное слово в алфавите из этих порождающих должно содержать непустое подслово?

(2 Мар '18 2:06) Slater

@Slater: Вы читали мой текст? Там описана идея "ядра" во втором абзаце. Это не просто непустое подслово, а такое, которое не сокращается ни в каких произведениях.

(2 Мар '18 2:30) falcao

Читал. Просто в цитате выше было непонятно, к чему относится слово "слово" (а во втором абзаце - к чему относится "подслово", т.е. к какому именно слову). Для меня сложно работать с не до конца понятными определениями. Еще одна попытка. Пусть дано множество {u,v,z}. Непустота ядра элемента свободной группы на этих символах означает, что (1) этот элемент содержит непустое подслово (т.е. просто не равен 1?) и (2) если взять другой элемент свободной группы на этих символах, то это подслово остается в произведении (которое тоже является приведенным словом)?

(2 Мар '18 2:49) Slater

@Slater: не могу подтвердить правильность того, что Вы сказали. Ещё раз: пусть даны буквы u, v, z. Мы перемножаем их в любом порядке и в любом количестве, причём можем брать обратные. Получатся слова типа uvzu^{-1}z^{-1}vu^{-1} и им подобные. При этом мы не берём двух рядом стоящих взаимно обратных букв, то есть слова приведены. Если вместо u, v, z мы подставим какие-то слова U, V, Z в алфавите x,y, то могут произойти какие-то сокращения. Предположим, что в U мы выделили непустое подслово, которое ни в каких произведениях не может сокращаться ни одной своей буквой. Тогда назовём его "ядром".

(2 Мар '18 3:08) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,521

задан
28 Фев '18 21:19

показан
295 раз

обновлен
2 Мар '18 3:08

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru