Доказать, что группа порожденная $%x,y,z$% с соотношением $%yxyz^{-2}=1$% изоморфна свободной группе

задан 28 Фев '18 22:20

Это совсем тривиальная вещь, так как из соотношения выражается х, а больше соотношений нет.

Возможно некое формальное рассуждение (и его легко придумать), но оно вообще-то излишне, так как есть теория преобразований Тице, которая обосновывает, что такого рода "здравые" приёмы корректны в применении.

(28 Фев '18 22:32) falcao

Если очень хочется поупражняться в формальных проверках, то берёте свободные группы F3(x,y,z) и F2(y,z). Строите гомоморфизм из первой во вторую: x->y^{-1}z^2y^{-1}, y->y, z->z. Пропускаете через N (нормальное замыкание соотношения). Обратный гомоморфизм y->yN, z->zN. Композиции тождественны.

(28 Фев '18 22:35) falcao

Для пропускания надо чтобы N лежала в ядре, но y^{-1}z^2y^{-1} не переходит в ноль

(1 Мар '18 2:26) Slater

@Slater: никакого нуля тут нет. Переходит в 1 должно соотношение, то есть слово yxyz^{-2}. Мы специально послали x в элемент y^{-1}z^2y^{-1}, а остальные образующие в себя, чтобы после подстановки всё сократилось: yxyz^{-2} -> y(y^{-1}z^2y^{-1})yz^{-2}=1. Понятно, что так можно сделать всегда, когда какой-то образующий входит в соотношение только один раз. Это примерно как исключение неизвестных из уравнений. А вообще, было бы полезно разобрать теорему Тице.

(1 Мар '18 2:36) falcao

Теперь возникли проблемы с доказательством тождественности композиции. Возьмем, например, $%x N\in F_3(x,y,z)/N $%. $%xN\mapsto y^{-1}z^2y^{-1} \mapsto (y^{-1}N)(z^2N)(y^{-1}N)=(y^{-1}z^2y^{-1})N$% Почему это равно $%xN$%? Я долго бился с выводом этого из $%yxyz^{-2}\in N$%, но так ничего и не добился

(1 Мар '18 3:25) Slater

@Slater: проверять тождественность надо на порождающих группы. Элемент x выражается через y,z, поэтому он из системы должен быть исключён. Поэтому Ваша проверка является заведомо лишней. Но вообще-то подгруппа N нормальна, и ей принадлежит любой циклический сдвиг слова -- в том числе xyz^{-2}y. Отсюда, конечно, всё следует, так как aN=bN <=> Na=Nb <=> Nab^{-1}N <=> ab^{-1} in N.

(1 Мар '18 4:32) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,521

задан
28 Фев '18 22:20

показан
243 раза

обновлен
1 Мар '18 4:32

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru