Пусть $%F$% поле. Доказать, что кольцо многочленов Лорана $%F[x,x^{-1}]$% - область главных идеалов.

(Без использования локализаций)

задан 1 Мар '18 4:13

10|600 символов нужно символов осталось
1

Пусть J --- идеал в данном кольце. Рассмотрим множество всех многочленов, принадлежащих J. Очевидно, что это идеал в F[x]. Он является главным. Пусть d(x) -- его порождающий. Проверим, что d(x) порождает J. Любой многочлен Лорана после домножения на подходящую степень переменной x превращается в многочлен. Значит, любой многочлен из J после домножения на степень x принимает вид d(x)g(x), где g(x) принадлежит F[x]. Значит, до домножения он был пропорционален d(x), имея вид d(x)x^{-m}g(x).

ссылка

отвечен 1 Мар '18 4:27

"Значит, любой многочлен из J после домножения на степень x принимает вид d(x)g(x), где g(x) принадлежит F[x]" - это непонятно. Вроде бы вообще любой многочлен из J имеет вид d(x)g(x), где g(x) принадлежит F[x] безо всяких домножений, поскольку он лежит во множестве всех многочленов из J которое является идеалом, порожденным d(x).

(1 Мар '18 4:39) Slater

Мы рассматриваем произвольный элемент из J. Это многочлен Лорана. Домножая его на степень x, получаем обычный многочлен. Он также принадлежит J, и поэтому имеет вид d(x)g(x).

(1 Мар '18 4:52) falcao

Если в данном случае имелся в виду многочлен Лорана, то понятно.

(1 Мар '18 5:00) Slater

@Slater: а это было написано в тексте: Любой многочлен Лорана после домножения и так далее. Там ведь проверяется, что J содержится в (d(x)).

(1 Мар '18 5:03) falcao

Да, сначала написано, но в следующем предложении написано "Значит, любой многочлен из J", что меня и смутило.

(1 Мар '18 5:09) Slater

@Slater: да, при следующем упоминании можно было вместо этого написать "любой элемент из J", чтобы не возникало словесной неоднозначности.

(1 Мар '18 12:28) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,521

задан
1 Мар '18 4:13

показан
233 раза

обновлен
1 Мар '18 12:28

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru