Отрезок, соединяющий середины оснований трапеций, равен 3. Углы при большем основании трапеции равны 30 и 60 градусов. Найти высоту трапеции.

задан 29 Мар '13 19:41

изменен 29 Мар '13 20:42

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
1

Обозначим трапецию через $%ABCD$%, где $%BC$% -- меньшее основание. Точку пересечения лучей $%AB$% и $%DC$% обозначим через $%E$%. Треугольник $%ADE$% прямоугольный, с острыми углами $%30$% и $%60$% градусах при вершинах $%A$% и $%D$%.

Пусть $%F$% -- середина его гипотенузы $%AD$%. Тогда треугольник $%FED$% равносторонний. Он симметричен относительно своей высоты, проведённой из точки $%E$%. Поэтому $%CD=3$%, так как этот отрезок симметричен отрезку, соединяющему середины оснований трапеции. Если теперь из точки $%C$% опустить высоту $%CK$%, то возникнет прямоугольный треугольник $%CDK$% с гипотенузой $%3$% и углом $%D$% в $%60$% градусов. По свойствам такого треугольника, его катет $%KD$% вдвое короче гипотенузы, то есть равен $%3/2$%, а второй катет $%CK$% в $%\sqrt{3}$% раз длиннее другого катета. Но это и есть искомая длина высоты, равная $%3\sqrt{3}/2$%.

ссылка

отвечен 29 Мар '13 20:22

10|600 символов нужно символов осталось
1

alt text

$$A_1C||AD; CM_1||MN.$$$$\triangle A_1BC(\angle C=90^o, \angle A_1=30^o,\angle B=60^o):CM_1-$$ медиана; $%A_1B=2CM_1=2MN=6;BC=A_1B\cdot sin30^O=3;A_1C=A_1B\cdot cos60^o=3\sqrt{3}.$% Высота $%CH=\frac{A_1C\cdot BC}{A_1B}=\frac{3\sqrt{3}}{2}.$%

ссылка

отвечен 29 Мар '13 20:33

10|600 символов нужно символов осталось
1

Пусть $%ABCD$% трапеция , точка $%M$% середина основания $%BC,$% а $%N$% середина основания $%AD.$% Проведем $%ME||AB$% и $%MF||CD.$% Четырехугольники $%ABME$% и $%DCMF$% параллелограммы по определению. Значит $%\angle MEF=\angle A= 60^0,\angle MFE=\angle D= 30^0, EN=AN-AE=ND-FD=NF,$% $%\angle EMF= 180^0-(30^0+60^0)=90^0.$% И так $%MN$% медиана прямоугольного треугольника $%AMF,$% проведенная из вершины прямого угла на гипотенузу,значит $%EN=MN=NF=3,$% а треугольник $%MEN$% правильный,высота $%MH$% которого равна высоте трапеции. И так $%MH=\large\frac{EN\sqrt3}2=\frac{3\sqrt3}2$%

alt text

ссылка

отвечен 30 Мар '13 0:33

изменен 30 Мар '13 0:37

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,924

задан
29 Мар '13 19:41

показан
5524 раза

обновлен
30 Мар '13 0:37

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru