2
1

Найти все функции $%f:\mathbb R^2\to\mathbb R$%, удовлетворяющие при всех $%x,y$% и $%z$% условиям: $$(x+y)f(x,y)=f(x^2,y^2);$$ $$f(x,y)=f(x+z,y+z);$$ $$f(1,0)=1.$$

задан 3 Мар '18 1:06

изменен 3 Мар '18 12:10

10|600 символов нужно символов осталось
4

Здесь функция двух переменных, поэтому должно быть $%f\colon\mathbb R^2\to\mathbb R$%.

Из условия $%f(x,y)=f(x+z,y+z)$% следует, что $%f(x,y)=g(x-y)$% для некоторой функции $%g\colon\mathbb R\to\mathbb R$%. Последнее условие принимает вид $%g(1)=1$%, первое даёт $%(x+y)g(x-y)=g(x^2-y^2)$%.

Положим $%k=x+y$%, $%t=x-y$%, где $%x=\frac{k+t}2$%, $%y=\frac{k-t}2$%. Тогда $%g(kt)=kg(t)$% для любых $%k$%, $%t$%. Понятно, что $%g(0)=0$%, а при $%t\ne0$% полагаем $%k=\frac1t$%, откуда $%g(t)=\frac1kg(kt)=tg(1)=t$%. Следовательно, $%g$% есть тождественная функция, и потому $%f(x,y)=x-y$%.

ссылка

отвечен 3 Мар '18 1:41

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×97

задан
3 Мар '18 1:06

показан
356 раз

обновлен
3 Мар '18 12:10

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru