Найти интеграл dx/(1 + sqrtx + sqrt(1+x))

задан 4 Мар '18 18:31

Заголовок прямо чума... )))

(4 Мар '18 18:48) all_exist
10|600 символов нужно символов осталось
0

$%\frac1{1+\sqrt{x}+\sqrt{1+x}}=\frac{1+\sqrt{x}-\sqrt{1+x}}{2\sqrt{x}}=\frac1{2\sqrt{x}}+\frac12-\frac{\sqrt{1+x}}{2\sqrt{x}}$%

С первыми двумя слагаемыми всё ясно. В третьем делаем замену $%z=\sqrt{x}$%. Получается $%I=\int\frac{1+x}{2\sqrt{x}}\,dx=\int\sqrt{1+z^2}\,dz=z\sqrt{1+z^2}-\int\frac{z^2}{\sqrt{1+z^2}}\,dz=z\sqrt{1+z^2}+\int\frac{dz}{\sqrt{1+z^2}}-I$%, откуда $%I=\frac12z\sqrt{1+z^2}+\frac12\ln(z+\sqrt{1+z^2})+C=\frac12\sqrt{x(1+x)}+\frac12\ln(\sqrt{x}+\sqrt{1+x)})+C$%.

Отсюда $%\frac{dx}{1+\sqrt{x}+\sqrt{1+x}}=\sqrt{x}+\frac{x}2-\frac12\sqrt{x(1+x)}-\frac12\ln(\sqrt{x}+\sqrt{1+x})+C$%.

ссылка

отвечен 4 Мар '18 19:18

понял, спасибо

(4 Мар '18 19:34) DaIvNi
10|600 символов нужно символов осталось
0

Можно сделать замену $%x = \text{sh}^2\,z$%, что позволит избавится от обоих корней...

Или умножить и поделить на $%(1+\sqrt{x})-\sqrt{1+x}$%...

ссылка

отвечен 4 Мар '18 18:52

А я все равно не особо понимаю, как с помощью таких преобразований можно найти данный интеграл

(4 Мар '18 19:17) DaIvNi
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,619

задан
4 Мар '18 18:31

показан
247 раз

обновлен
4 Мар '18 19:34

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru