Дан набор чисел b1,b2,b3...bn. Про этот набор чисел известно: b1<=b2<=b3...<=bn b1+b2+b3...+bn=0 |b1|+|b2|+|b3|+....+|bn|=K Доказать, что bn-b1>=2K/N

задан 4 Мар '18 19:11

10|600 символов нужно символов осталось
4

Если $%K=0$%, то все числа нулевые, и тогда доказывать нечего. В противном случае среди чисел должны быть ненулевые. Поскольку их сумма равна нулю, то там есть как положительные, так и отрицательные числа. В частности, $%b_1 < 0$%, $%b_n > 0$%. Нулевые слагаемые можно не учитывать, так как от них ничего не зависит. Тогда $%b_1\le\cdots\le b_s < 0 < b_{s+1}\le\cdots\le b_n$% для некоторого $%s$%.

По условию, $%(b_{s+1}+\cdots+b_n)=(-b_1-\cdots-b_s)$%. В сумме обе части дают $%K$%, так как это сумма модулей. Значит, обе части здесь равны $%K/2$%. Тогда $%(n-s)b_n\ge b_{s+1}+\cdots+b_n=K/2$%, то есть $%b_n\ge\frac{K}{2(n-s)}$%. Далее, $%-b_1\ge\cdots\ge-b_s$%, откуда $%-sb_1\ge-b_1-\cdots-b_s=K/2$%, и $%-b_1\ge\frac{K}{2s}$%.

В сумме имеем $%b_n-b_1\ge\frac{K}2(\frac1{n-s}+\frac1s)=\frac{Kn}{2s(n-s)}\ge\frac{2Kn}{(s+(n-s))^2}=\frac{2K}n$% с учётом неравенства о среднем, записанного в виде $%(u+v)^2\ge4uv$%.

ссылка

отвечен 4 Мар '18 19:36

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×460
×296
×238

задан
4 Мар '18 19:11

показан
326 раз

обновлен
4 Мар '18 19:36

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru