Докажите, что для любых положительных чисел $%a_k, b_k (k=1,2,...,n)$% выполнено неравенство $$\frac{a_1b_1}{a_1+b_1}+\frac{a_2b_2}{a_2+b_2}+...+\frac{a_n b_n}{a_n+b_n}\le \frac{AB} {A+B}$$ где $%A=a_1+a_2+...+a_n$% и $%B=b_1+b_2+...+b_n$%

задан 5 Мар '18 14:46

изменен 5 Мар '18 18:54

10|600 символов нужно символов осталось
4

Индукция. База очевидна. Пускай $$\frac{a_1b_1}{a_1+b_1}+\frac{a_2b_2}{a_2+b_2}+...+\frac{a_n b_n}{a_n+b_n}\le\frac{AB} {A+B}.$$ Тогда $$\frac{a_1b_1}{a_1+b_1}+\frac{a_2b_2}{a_2+b_2}+...+\frac{a_{n+1}b_{n+1}}{a_{n+1}+b_{n+1}}\le\frac{AB}{A+B}+\frac{a_{n+1}b_{n+1}}{a_{n+1}+b_{n+1}}\le\frac{(A+a_{n+1})(B+b_{n+1})}{A+a_{n+1}+B+b_{n+1}}.$$ Последнее неравенство сводится к такому: $$0\le\frac{(Ab_{n+1}-Ba_{n+1})^2}{(A+B)(a_{n+1}+b_{n+1})(A+B+a_{n+1}+b_{n+1})}.$$

ссылка

отвечен 5 Мар '18 15:33

10|600 символов нужно символов осталось
5

$$f (x)=\dfrac {x}{1+x}$$

$$a_1f (\frac {b_1}{a_1})+...+a_nf (\frac {b_n}{a_n}) \le (a_1+...+a_n)f (\frac {b_1+...+b_n}{a_1+...+a_n})$$

ссылка

отвечен 5 Мар '18 17:53

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×238

задан
5 Мар '18 14:46

показан
383 раза

обновлен
5 Мар '18 18:54

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru