Сколько двоек в разложении числа $%(n+1)(n+2)...(2n)$% на простые множители?

задан 5 Мар '18 16:29

1

Индукцией докажите тождество: $$(n+1)(n+2)...(2n)=2^n(2n-1)!!$$

(5 Мар '18 16:42) EdwardTurJ
1

@make78: есть известная формула для факториала. Из неё сразу следует, что двоек здесь будет n.

Напомним, что для n! показатель степени при простом p равен [n/p]+[n/p^2]+... . Тогда для (2n)! появится первое дополнительно слагаемое n, а остальное будет как у n!.

(5 Мар '18 16:49) falcao

@falcao, @EdwardTurJ, эта задача с мат.кружка 6 класса, они индукцию и факториалы еще не знают. Должно быть какое-то более "простое" решение.

(5 Мар '18 16:55) make78

@falcao, кажется, понял Вашу мысль. Спасибо.

(5 Мар '18 16:59) make78
1

@make78: строго говоря, индукция нужна даже для того, чтобы определить произведение из n сомножителей. Но такого рода формальности во внимание не принято принимать.

Задача о степени двойки для такого произведения мало чем отличается от задачи для факториала, и одно из другого следует. Если кто-то это предлагает в 6-м классе, то считается, что идею этого рассуждения "продвинутые" школьники могут понять без лишних формальностей. Типа, половина чисел от 1 до n делится на 2, половина половины -- на 4, и так далее. Этих соображений достаточно.

(5 Мар '18 17:17) falcao

@falcao, понял.

(5 Мар '18 23:43) make78
1

@make78: я думаю, самое простое здесь -- это сравнить n-е произведение с (n+1)-м. Понятно, что теряется множитель n+1, и вместо него приобретается (2n+1)(2n+2). То есть произведение увеличивается в 2(2n+1) раз. Новая двойка тут ровно одна. Это и есть "замаскированное" доказательство по индукции, которое предлагал @EdwardTurJ. Я думаю, это проще формулы с факториалами. Для 6-классников это умозаключение более чем доступно.

(6 Мар '18 0:12) falcao

@falcao, Действительно, это очень доступное объяснение. Еще раз благодарю!

(6 Мар '18 8:53) make78
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,520
×310

задан
5 Мар '18 16:29

показан
960 раз

обновлен
6 Мар '18 8:53

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru