|
На обучение отправлены 75 менеджеров. Им предложены три спецкурса A¸B¸C. На курс A записались 40 человек, на курс B – 48, на курс C- 42. Известно, что на курсе A или B собираются обучаться 63 менеджера, на B или C - 60, на A или C - 62. 10 менеджеров не записались ни на один курс. Сколько менеджеров записались на все три курса? Уважаемые математике, прошу подсказать решение этой задачи. Возник спор по поводу решения этой задачи. Мой ответ: Задача некорректна, получается, что на все три курса записались 120 человек, что невозможно. Примените формулу включения-исключения для трех элементов. В другом решении ответ - 10. Кто прав? Если не я, то где ошибка: 40+48+42-60-63-62+х=75-10 задан 30 Мар '13 9:45 
epimkin |
|
В рисунке множество $%A$% это множество тех менеджеров,котирые записались на курс $%A$%. Анологично для $%B$% и $%C$%. Символом $%n(A)$% обозначим число элементов множества $%A$%.Число менеджеров,которые записались на какой-то курс равно $%75-10=65$%. Пусть на все три курса записались $%x$% человек, тогда $%n(A\cap B)=40+48-63=25,n(A\cap C)=40+42-62=20,$% $%n(C\cap B)=40+42-60=25.$% Ясно,что $%n((A\cap B)\setminus C)=25-x,n((A\cap C)\setminus B)=20-x,n((C\cap B)\setminus A)=30-x,$%
$%n(B\setminus(A\cup C))=x-7,n(A \setminus(B\cup C))=x-5,n(C\setminus(A\cup B))=x-8. $% Сумма всех этих чисел $%65.$%
Значит $%x-7+x-8+x-5+25-x+20-x+30-x+x=65\Leftrightarrow x=10$%
отвечен 30 Мар '13 12:10 
ASailyan |
|
Это задача на формулу включений и исключений. По условию, $%|A|=40$%, $%|B|=48$%, $%|A\cup B|=63$% (именно такое количество записалось на хотя бы один из курсов $%A$% или $%B$%). Отсюда выражаем, сколько человек записалось на каждый из двух этих курсов: $%|AB|=|A|+|B|-|A\cup B|=25$%. (Пересечение в задачах такого типа традиционно обозначается по типу произведения.) Аналогично поступаем с $%|BC|$% и $%|AC|$%. Далее, нам известно, что $%|A\cup B\cup C|=75-10=65$%, и теперь можно найти тройное пересечение, пользуясь следующей формулой: $$|A\cup B\cup C|=|A|+|B|+|C|-|AB|-|BC|-|AC|+|ABC|.$$ Получается $%|ABC|=10$%. Для контроля за вычислениями удобно всё изобразить на "кругах Эйлера". отвечен 30 Мар '13 12:23 
falcao Спасибо, я все понял
(30 Мар '13 17:20)
epimkin
|
В Вашем решении предполагается, что на курсы $%A$% и $%B$% записалось $%63$% человека, на курсы $%B$% и $%C$% — $%60$%, на курсы $%A$% и $%C$% — $%62$%, а в условии задачи написано "или".
Все стало понятно, надо обращать внимание на слова. Раньше попадались задачки с "и", вот и решил неверно