Подскажите, пожалуйста, как можно находить эквивалентные к: $% g(t) = \int\limits_{t}^{t^2} f(x) dx $%
Т.е. интеграл не берется в элем. функциях и хочется найти к нему эквивалентные, пределы интегрирования я вставил от балды, т.е. там может быть что угодно в разумных пределах, например, как решить такую задачу:
$% g(t) = \int\limits_{t}^{t^2} e^{\sqrt{sinx+x}} dx $%

задан 5 Мар '18 22:29

@Williams Wol...: если речь об асимптотике, то надо уточнить, при каких t она рассматривается. Варианты: при t->0, или при "больших" значениях t, или что-то ещё.

Общая стратегия может быть примерно такая: находим достаточно точные приближения функции f(x) сверху и снизу, чтобы они были интегрируемы, и асимптотика верхней и нижней функции получалась примерно одинаковой.

(5 Мар '18 22:42) falcao

Да, конечно, t -> inf в конкретном примере, а так t-> inf, t-> 0, t -> a.

(5 Мар '18 22:46) Williams Wol...

Мне кажется, зажать функцию не всегда представляет возможным, например как просто оценить $%1/lnx, t -> inf$% ?

(5 Мар '18 22:47) Williams Wol...

@Williams Wol...: оценки не обязательно делать напрямую. Для интеграла dx/ln x напрашивается замена y=ln x. Тогда получается e^y dy/y, а такая функция уже "прилично" себя ведёт.

Вариант с нулём и бесконечностью рассмотреть можно, а вот t->a выглядит как-то уже не очень. Фактически, это точное нахождение всей функции.

(5 Мар '18 23:16) falcao

При t->infty функция с экспонентой может быть оценена на основе -1 <=sin(x)<=1. Поскольку x велико, потеря точности здесь незначительная. Интегралы от exp(sqrt(x+-1)) вычисляются явно.

(5 Мар '18 23:20) falcao

А вам несложно решить для $% \frac{1}{lnx} $%? Просто хочу увидеть с начала и до конца алгоритм действий

(8 Мар '18 20:26) Williams Wol...

Пусть будет от t до t^2, t -> inf

(8 Мар '18 20:26) Williams Wol...

@Williams Wol...: интеграл dx/ln x превращается в e^z dz/z после замены. Это эйлеров интеграл, и для него асипмтотику надо искать в справочниках, если нужна совсем точная. Пределы здесь от ln t до 2ln t, поэтому 1/z между 1/(2ln t) и 1/ln t. А интеграл от экспоненты равен t^2-t. Значит, функция находится между (t^2-t)/(2ln t) и (t^2-t)/ln t. Точное значение, судя по всему, ближе к нижней оценке.

(8 Мар '18 22:55) falcao
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,697

задан
5 Мар '18 22:29

показан
207 раз

обновлен
8 Мар '18 22:55

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru