В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с ребром основания а и боковым ребром b найти: а)Расстояние от точки А до плоскости SBC; б)Наибольшее возможное значение угла между ребром SA и плоскостью SBC.

задан 5 Мар '18 22:52

10|600 символов нужно символов осталось
2

а) Прямая $%AD$% параллельна $%BC$%, а также плоскости $%SBC$%. Поэтому вместо расстояния от $%A$% до плоскости можно находить расстояние от $%O$% до неё, где $%O$% -- центр основания. Пусть $%K$% -- середина $%BC$%. Плоскость $%SOK$% перпендикулярна $%BC$%. Поэтому достаточно найти высоту $%h$% треугольника $%SOK$%, опущенного из $%O$% на гипотенузу. Это и будет расстояние до плоскости.

Из теоремы Пифагора следует, что $%SO=\sqrt{SA^2-OA^2}=\sqrt{b^2-a^2}$%. Очевидно также, что $%OK=\frac{\sqrt3}2a$%, и $%SK=\sqrt{b^2-\frac{a^2}4}$%. Отсюда $%h=\frac{SO\cdot OK}{SK}=\frac{a\sqrt{3(b^2-a^2)}}{\sqrt{4b^2-a^2}}$%.

б) Синус угла наклона ребра $%SA$% к плоскости $%SBC$% равен $%h/b$%. Эту величину надо максимизировать, что равносильно максимизации её квадрата, равной $%\frac{3a^2(b^2-a^2)}{b^2(4b^2-a^2)}$%. Разделим числитель и знаменатель на $%b^4$%, и выразим отношение через величину $%t=(\frac{a}b)^2\in(0;1)$%. Получится функция $%\frac{3t(1-t)}{4-t}$%, которую надо исследовать на максимум.

Производная равна $%\frac{t^2-8t+4}{(4-t)^2}=\frac{(4-t)^2-12}{(4-t)^2}$%. Критической точкой на интервале будет $%t=4-2\sqrt3$%, и при переходе через неё производная меняет знак с "плюса" на "минус". Значит, мы нашли точку наибольшего значения. Это наибольшее значение равно $%\frac{3(4-2\sqrt3)(2\sqrt3-3)}{2\sqrt3}=(2\sqrt3-3)^2$%, откуда наибольшее значение синуса угла равно $%2\sqrt3-3$%. Сам угол равен арксинусу. Это примерно $%27,65$% градуса.

ссылка

отвечен 6 Мар '18 0:08

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×508

задан
5 Мар '18 22:52

показан
1295 раз

обновлен
6 Мар '18 0:08

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru