Здравствуйте! Возможно, это всё о том же, но всё же... Пусть $%f(x)$% - непрерывная возрастающая функция, определенная на отрезке $%[a, b]$%, такая, что $%f(a) \ge a, f(b) \le b$%. Выбрав произвольное число $%x_1 \in [a, b]$%, определим последовательность $%\{x_n\}$%, полагая $%x_{n+1} = f(x_n)$% при $%n \ge 1$%. Доказать, что существует предел $%\lim\limits_{n \to \infty}x_n=x^{\ast}$% и при этом $%f(x^{\ast})=x^{\ast}$%.

задан 5 Мар '18 23:00

изменен 5 Мар '18 23:06

falcao's gravatar image


229k3045

@Math_2012: местный редактор не любит "звёздочки". Их надо давать в математическом режиме командой \ast. Я подправил.

(5 Мар '18 23:07) falcao
1

Если x2=f(x1)=x1, то всё доказано. Пусть x2 > x1. Тогда x3=f(x2) > f(x1)=x2, и по индукции имеем возрастание. Ограничение сверху имеется. Значит, есть предел. Поскольку f непрерывна, при переходе к пределу получаем неподвижную точку. Случай x2 < x1 полностью аналогичен. То есть тут всё просто следует из самых общих соображений. Самих неподвижных точек у такой функции может быть много. Любая из них может оказаться пределом.

(5 Мар '18 23:11) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,063
×291

задан
5 Мар '18 23:00

показан
147 раз

обновлен
5 Мар '18 23:11

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru