Пусть А, В замкнутые непресекающиеся подмножестваметрического пространства X. Одно из них компактно. Доказать, что inf p(a,b)>0, где а€A, b€B. Верно ли это, если не требовать компактности

задан 6 Мар '18 11:42

10|600 символов нужно символов осталось
1

Для произвольных замкнутых множеств это неверно. Возьмем множества в $%\mathbb{R^2}$%, например, такие: $%A = \{(x, y): y = 0 \}$%, $%B = \{(x, y): y = \frac{1}{x} \}$%.

Пусть $%A$% компактно. Так как $%B$% замкнуто, и множества не пересекаются, то для каждой точки $%x \in A$% найдется окрестность $%U(x)$%, не содержащая точек множества $%B$%. Система окрестностей $%\{ U(x)\}_{x \in A}$% образует покрытие множества $%A$% из которого, в силу компактности, можно извлечь конечное покрытие $%U(x(1)), ..., U(x(n))$%. Но тогда $$ B \subset \bigcup U(x(i)), $$ то есть множество $%\bigcup U(x(i))$% является открытой окрестностью множества $%B$%, не содержащей точек множества $%A$%, откуда и следует требуемое.

ссылка

отвечен 6 Мар '18 12:01

изменен 6 Мар '18 14:00

Почему-то в предпросмотре все нормально, а так не отображается ничего..

(6 Мар '18 12:01) no_exception

@no_exception: это местный редактор так реагирует на подчёркивания. Делает он это "избирательно": если идут обычные нижние индексы, то он их "терпит". Если же там что-то похитрее, типа x \in A в качестве нижнего индекса, то здесь уже происходят нарушения (хотя в превью всё правильно).

(6 Мар '18 13:32) falcao

@falcao, и как выкручиваться?

(6 Мар '18 13:48) no_exception

@no_exception: можно попытаться убрать этот нижний индекс, написав это же самое в строке, в скобках.

(6 Мар '18 13:53) falcao

@falcao, поправил. Странно, но ругань не на $%x \in A$% в нижнем индексе

(6 Мар '18 14:01) no_exception

@no_exception: там причины могут быть разные, но я знаю, что наличие большого числа нижних индексов в "необычной" ситуации сильно увеличивает шансы на то, что это дело редактор воспримет как выделение особого вида шрифта. По идее, такой "косяк" должен легко исправляться: если есть математический режим, то надо понизить приоритет выделения шрифта, только и всего.

(6 Мар '18 14:47) falcao

@no_exception, спасибо!

(6 Мар '18 23:38) ВВД

@no_exception, простите, пожалуйста, Вы наверное имели ввиду, что $%А \subset \bigcup U(x(i)$%? Если это так, то мне немного не понятно, зачем необходимо существование конечного подпокрытия

(7 Мар '18 3:42) ВВД

Кто-нибудь мог бы пояснить по поводу моего последнего вопроса, пожалуйста?

(9 Мар '18 5:43) ВВД

@Фритьоф Нансен: там в конце опечатка: A и B поменялись ролями.

Конечность подпокрытия используется в том, что окрестности можно считать шарами, и для конечного случая берётся минимум их радиусов. Тогда любая точка из A удалена от точек B как минимум на это расстояние.

(9 Мар '18 10:25) falcao

@falcao, Спасибо большое

(9 Мар '18 23:47) ВВД
показано 5 из 11 показать еще 6
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×339

задан
6 Мар '18 11:42

показан
285 раз

обновлен
9 Мар '18 23:47

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru