геометрия - Являются ли ноль и единица треугольными числами? И если да, то почему?

Здесь всё совершенно правильно. Общая формула имеет вид $$S_n=1+2+\cdots+n.$$ Всего складывается $%n$% чисел. При этом сумма считается имеющей смысл и при $%n=0$%: в ней вообще нет слагаемых, а потому их сумма полагается равной нулю. Это удобное соглашение. Мотивировать его можно так: если мы к чему-то прибавим ноль слагаемых, то что мы сделаем реально? Ясно, что ничего, то есть сумма не должна измениться. То есть мы прибавили $%0$% -- это и есть значение "пустой суммы".

А для выражений вида $%x_1x_2\ldots x_n$% имеет смысл понятие "пустого произведения", то есть формального "произведения", в котором нет сомножителей. Оно считается равным единице. Мотивировка та же: если мы на что-то домножим это произведение, то мы ничего не сделаем (по факту), то есть произойдёт домножение на единицу. Именно по этой причине равны единице нулевые степени чисел, а также число $%0!$%.

"Бытовая" интерпретация треугольных чисел также согласуется со сказанным в начале. Если я $%5$% раз буду класть на стол бильярдные шары, выстраивая их в виде треугольника, то я положу на первом шаге один шар, на втором -- два, и так далее, а всего я положу $%1+2+3+4+5=15$% шаров. Это треугольное число $%S_5$%. А если я проделаю процедуру выкладывания $%0$% раз, то что я сделаю? Ничего. Сколько шаров окажется на столе? Ноль. Поэтому $%S_0=0$%.

С единицей всё ещё понятнее: после одного шага на столе будет один шар, то есть $%S_1=1$%. Это можно считать "стилизованным" изображением равностороннего треугольника со стороной $%1$% (ср. с ситуацией $%15$% шаров -- они изображают треугольник со стороной $%5$%). Тут просто имеют место "вырожденные" случаи при $%n=0$% и $%n=1$%, но они вписываются в общий закон.

Полезно сравнить это с ранее звучавшим вопросом о совершенных числах: там как раз число $%1$% в общую закономерность никак не вписывалось. Сумма делителей, меньших самого числа, была "пустая", то есть равная нулю.