Найти все решения в натуральных числах $%x,\:y,\:n$%уравнения $$x^n+y^n=(x-y)^{n+1}$$

задан 6 Мар 22:08

изменен 6 Мар 22:19

10|600 символов нужно символов осталось
3

Положим $%z=x-y$%. Уравнение принимает вид $%(y+z)^n+y^n=z^{n+1}$%. Пусть $%d=НОД(y,z)$%. Положим $%y=dY$%, $%z=dZ$%, где $%Y$%, $%Z$% взаимно просты. Подставляя в уравнение, имеем $%(Y+Z)^n+Y^n=dZ^{n+1}$%, то есть $%(Y+Z)^n+Y^n$% делится на $%Z^{n+1}$%. Для каждого такого случая получается решение.

Левая часть равна $%2Y^n$% по модулю $%Z$%, и это число делится на $%Z$%. Ввиду взаимной простоты $%Y$% и $%Z$%, получается $%Z=1$% или $%Z=2$%. С первым случаем всё ясно: $%Y$% любое натуральное, $%d=(Y+1)^n+Y^n$%, $%x=d(Y+1)$%, $%y=dY$%.

Разберём случай $%Z=2$%. Здесь $%(Y+2)^n+Y^n$% делится на $%2^{n+1}$%, где $%Y$% нечётно. Удобно положить $%u=Y+1$% -- это чётное число, и $%(u+1)^n+(u-1)^n$% делится на $%2^{n+1}$%. Если $%n$% чётно, то получается сумма квадратов двух нечётных чисел, которая при делении на $%4$% даёт в остатке $%2$%. Поэтому считаем $%n$% нечётным. Левая часть равна $%2u((u+1)^{n-1}-(u+1)^{n-2}(u-1)+\cdots+(u-1)^{n-1})$%, где в скобках находится нечётное число нечётных слагаемых. Тогда $%u$% должно делиться на $%2^n$%, что необходимо и достаточно.

Таким образом, при нечётных $%n$% полагаем $%Y=2^nt-1$%, где $%t$% любое натуральное. Далее $%d=\frac{(2^nt+1)^n+(2^nt-1)^n}{2^{n+1}}$%, $%x=(2^nt+1)d$%, $%y=(2^nt+1)d$%. Это описание всех решений.

ссылка

отвечен 7 Мар 3:29

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,011
×636
×619
×206
×2

задан
6 Мар 22:08

показан
129 раз

обновлен
7 Мар 3:29

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru