|
При каких значениях a уравнение $$|x|+|\frac{x+1}{3x-1}|=a$$ имеет ровно три решения? [img]http://webmath.exponenta.ru/mege/do/c5/im/m_149.gif [/img] задан 30 Мар '13 15:00 
XAegis |
|
$%|x|+|\frac{x+1}{3x-1}|=a\Leftrightarrow |\frac{x+1}{3x-1}|=a-|x|.$% Не трудно построить графики функций $%y=|\frac{x+1}{3x-1}|,$% и $%y=a-|x|.$% Они пересекаются в $%3$% точках только при $%a=2$% (можно доказать,что график функции $%y=a-|x|$% касается одной ветви графика $%y=|\frac{x+1}{3x-1}|,$% а другую ветвь пересекает в 2 точках).А при $%a=2/3,$% только одна общая точка, это значение не удовлетворяет условию задачи. Значит решение по ссылке не верно. Ответ $%a=2$%
отвечен 30 Мар '13 15:41 
ASailyan |
|
Да, решение по ссылке ошибочное. Там уже самое первое равенство неверно (пропущен множитель $%3$%), а ссылка на "аналогичность" в конце сделана безосновательно. Вообще, там решение очень длинное, и в нём легко запутаться. Я бы решал или аналитически, или строил график всей функции, зависящей от $%x$%, на отдельных интервалах, попутно вычисляя производную. Там получается фактически не четыре случая, а только два, так как имеет место определённая симметрия между парами случаев. Итоговый график выглядит довольно просто, как и характер возрастания/убывания, после чего ответ $%a=2$% становится сразу виден. отвечен 30 Мар '13 16:34 
falcao |
|
$$|x|+\Big |\frac{x+1}{3x-1}\Big |=a \Leftrightarrow |3x|+\Big |\frac{3x+3}{3x-1}\Big | = 3a \Leftrightarrow \begin{cases} 3x=t,\\ b=3a,\\|t|+\Big |1+\frac{4}{t-1}\Big |=b, \end{cases}\Leftrightarrow $$$$\begin{cases} 3x=t,\\ b=3a,\\y=|t|+\Big |1+\frac{4}{t-1}\Big |,\\ y=b.\end{cases}$$
Ответ. $%a=2$%. отвечен 30 Мар '13 17:13 
Anatoliy |
