При каких значениях a уравнение $$|x|+|\frac{x+1}{3x-1}|=a$$

имеет ровно три решения?

[img]http://webmath.exponenta.ru/mege/do/c5/im/m_149.gif [/img]

http://webmath.exponenta.ru/mege/do/c5.html 11p

задан 30 Мар '13 15:00

изменен 30 Мар '13 17:23

ASailyan's gravatar image


15.3k725

10|600 символов нужно символов осталось
2

$%|x|+|\frac{x+1}{3x-1}|=a\Leftrightarrow |\frac{x+1}{3x-1}|=a-|x|.$% Не трудно построить графики функций $%y=|\frac{x+1}{3x-1}|,$% и $%y=a-|x|.$% Они пересекаются в $%3$% точках только при $%a=2$% (можно доказать,что график функции $%y=a-|x|$% касается одной ветви графика $%y=|\frac{x+1}{3x-1}|,$% а другую ветвь пересекает в 2 точках).А при $%a=2/3,$% только одна общая точка, это значение не удовлетворяет условию задачи. Значит решение по ссылке не верно.

Ответ $%a=2$% alt text

ссылка

отвечен 30 Мар '13 15:41

изменен 30 Мар '13 17:22

10|600 символов нужно символов осталось
1

Да, решение по ссылке ошибочное. Там уже самое первое равенство неверно (пропущен множитель $%3$%), а ссылка на "аналогичность" в конце сделана безосновательно. Вообще, там решение очень длинное, и в нём легко запутаться. Я бы решал или аналитически, или строил график всей функции, зависящей от $%x$%, на отдельных интервалах, попутно вычисляя производную. Там получается фактически не четыре случая, а только два, так как имеет место определённая симметрия между парами случаев. Итоговый график выглядит довольно просто, как и характер возрастания/убывания, после чего ответ $%a=2$% становится сразу виден.

ссылка

отвечен 30 Мар '13 16:34

10|600 символов нужно символов осталось
1

$$|x|+\Big |\frac{x+1}{3x-1}\Big |=a \Leftrightarrow |3x|+\Big |\frac{3x+3}{3x-1}\Big | = 3a \Leftrightarrow \begin{cases} 3x=t,\\ b=3a,\\|t|+\Big |1+\frac{4}{t-1}\Big |=b, \end{cases}\Leftrightarrow $$$$\begin{cases} 3x=t,\\ b=3a,\\y=|t|+\Big |1+\frac{4}{t-1}\Big |,\\ y=b.\end{cases}$$

alt text

Ответ. $%a=2$%.

ссылка

отвечен 30 Мар '13 17:13

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,507
×2,319
×281

задан
30 Мар '13 15:00

показан
1184 раза

обновлен
15 Май '13 15:51

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru