Как доказать, что действительную прямую нельзя представить в виде дизъюнктного объединения отрезков? Интуитивно очевидно, но доказать не получилось.

задан 8 Мар '18 0:21

10|600 символов нужно символов осталось
0

Отрезки здесь должны быть "настоящими", то есть неодноточечными (в противном случае возможна тривиальная конструкция). Тогда объединение счётное, поскольку каждый отрезок содержит "свою" рациональную точку. Возьмём какой-нибудь отрезок прямой, не покрываемый отрезком разбиения (такой всегда существует, что очевидно). Он представляется в виде не более чем счётного дизъюнктного объединения отрезков, ни один из которых не совпадает со всем отрезком. Далее всё следует из этого факта. Для случая покрытия прямой отрезками то же самое можно проделать чуть проще.

ссылка

отвечен 8 Мар '18 1:12

"Возьмём какой-нибудь отрезок прямой, не покрываемый отрезком разбиения (такой всегда существует, что очевидно). Он представляется в виде не более чем счётного дизъюнктного объединения отрезков, ни один из которых не совпадает со всем отрезком." Можете пояснить второе предложение? Эти отрезки, объединение которых равно выбранному, берутся из разбиения? Не понятно почему именно совпадает, кажется может быть и вложение.

(8 Мар '18 14:42) AlexMath

@AlexMath: у нас прямая покрыта дизъюнктными отрезками. Мы рассматриваем один отрезок прямой, выбираемый так, чтобы он не содержался целиком ни в одном отрезке разбиения. Это делается просто: берём, например, середины a, b двух разных отрезов разбиения (a < b). Тогда отрезок [a,b] обладает требуемым свойством. Пересечение отрезка разбиения с [a,b] всегда есть отрезок, если оно непусто. В итоге [a,b] покрыт дизъюнктным множеством отрезков, ни один из которых не равен [a,b]. Последнее верно потому, что [a,b] не содержится ни в каком отрезке разбиения прямой -- по построению.

(8 Мар '18 15:07) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,619
×339
×11

задан
8 Мар '18 0:21

показан
422 раза

обновлен
8 Мар '18 15:07

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru