link text

Я не совсем понимаю,мы ведь можем сказать, что мы можем приблизить любую функцию в $%L_2$% рядом Фурье, т.е мы можем написать $%f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}c_nsin(nx)$% т.к система $%sin(nx)$% полная на отрезке $%[0,\pi]$%. И чтобы доказать равномерную сходимость нужно просто рассмотреть $%||\sum_{n=0}^{\infty}c_nsin(nx)-\sum_{n=0}^{\infty}d_nsin(nx)||\le \frac{\pi}2\sum_{n=0}^{\infty}||c_n-d_n||$%. Но как сказать почему последнее стремится к 0? Я знаю что любая суммируемая функция однозначно определятся своими коэфф. Фурье, но ведь f не обязательно суммируемая.

задан 8 Мар '18 18:25

@Mathworld: ряд из условия сходится абсолютно и равномерно на всей прямой по признаку Вейерштрасса. Поэтому он действительно задаёт функцию, которая 2п-периодична и даже дифференцируема, так как формально продифференцированный ряд также сходится равномерно по тому же признаку. На отрезке [-п,-п] мы можем найти коэффициенты Фурье по стандартным формулам. После домножения на cos(nx) или sin(nx) снова получается равномерно сходящийся ряд, и его можно почленно интегрировать. Тогда из свойств ортогональности системы получатся, что a(n)=0, b(n)=d(n).

(8 Мар '18 19:10) falcao

@falcao спасибо!

(8 Мар '18 20:20) Mathworld

@falcao А еще вопрос, если у меня есть функция в L2[-pi,pi] ее коэф Фурье an,bn. То чтобы д-ть сходимость ряда an*sin(nx)/n я могу просто использовать неравенство Бесселя и признак Вейерштрасса?

(8 Мар '18 21:34) Mathworld

@Mathworld: выше я написал про дифференцируемость функции, но там появляются дополнительные коэффициенты n, а тогда сходимость уже может не быть. То есть это было неверное заключение. А непрерывность, конечно, есть, так как это равномерный предел непрерывных функций.

Для функции из L2, ряд из квадратов коэффициентов Фурье сходится. Тогда, конечно, для a(n)sin(nx)/n сходимость заведомо имеет место.

(8 Мар '18 22:16) falcao

@falcao а почему если сходится ряд из квадратов, то сходится ряд из a_n/n?что-то туплю

(9 Мар '18 15:02) Mathworld

@Mathworld: есть общий факт: если ряды из x(n) и y(n) сходятся в квадрате, то ряд x(n)y(n) сходится абсолютно. Это следует из неравенства о среднем: |xy|<=(x^2+y^2)/2.

(9 Мар '18 18:04) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×639

задан
8 Мар '18 18:25

показан
315 раз

обновлен
9 Мар '18 18:04

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru