|
Хорды AB и CD окружности радиуса r пересекаются под прямым углом.Найдите BD если AC=a. задан 30 Мар '13 20:45 
Arrimanter |
|
Из треугольника $%ADC,$% по теореме синусов $%\frac{AC}{\large sin\alpha}=2r \Rightarrow sin\alpha=\frac{a}{2r}. $% Ясно, что $%\beta=90^0-\alpha \Rightarrow sin\beta=cos\alpha=\sqrt{1-(\frac{a}{2r})^2}=\sqrt{\frac{4r^2-a^2}{4r^2}}=\frac{\sqrt{4r^2-a^2}}{2r}.$% Из треугольника $%ABD,$% имеем$%BD=2rsin\beta=2r\cdot \frac{\sqrt{4r^2-a^2}}{2r}=\sqrt{4r^2-a^2}.$% Ответ. $%\sqrt{4r^2-a^2}$%
отвечен 30 Мар '13 21:59 
ASailyan |
|
Я хотел изложить два способа решения, но один из них, с использованием тригонометрии, уже привела @ASailyan. Поэтому ограничусь вторым способом, основанным на применении осевой симметрии. Рассмотрим диаметр окружности, параллельный хорде $%AB$% (его можно не проводить на рисунке, а представлять себе мысленно). При осевой симметрии относительно этого диаметра точки $%A$%, $%B$% перейдут в какие-то точки $%A'$%, $%B'$%. Понятно, что при этом возникает прямоугольник $%ABB'A'$%, диагональ которого $%AB'$% является ещё одним диаметром окружности. Заметим, что при нашей осевой симметрии окружность переходит в себя, а точка $%C$% переходит в точку $%D$%, так как прямая $%CD$% перпендикулярна оси симметрии. Следовательно, $%BD=B'C$%. Но эту длину теперь уже легко найти из треугольника $%AB'C$%: он является прямоугольным, так как угол при вершине $%C$% опирается на диаметр $%AB'$%. Длина гипотенузы, таким образом, равна $%2r$%, а один из катетов есть $%AC=a$%. Тем самым, второй катет $%B'C$% равен $%\sqrt{4r^2-a^2}$%, а это и есть наша искомая величина. отвечен 30 Мар '13 23:00 
falcao Мне тоже нравится Ваше решение, как и Вам. Широко мыслите!
(31 Мар '13 8:48)
nikolaykruzh...
@nikolaykruzh...: ну, я вообще-то сначала решал при помощи тригонометрии, и уже потом, когда получился ответ, понял из его вида, что здесь напрашивается построение соответствующего прямоугольного треугольника.
(31 Мар '13 9:51)
falcao
|
|
$$(\triangle AQC\backsim \triangle DQB;\triangle D_1CA\backsim \triangle BCQ)\Rightarrow BD = \sqrt{4r^2-a^2.}$$ отвечен 31 Мар '13 10:36 
Anatoliy @ASailyan подробно всё расписывает, а @Anatoliy - полчаса я сидел разбирался: что - к чему. Вы видите всё сразу, к Вашей чести, ну,а мне - что Бог послал, тому и радуюсь. Нет, я не призываю Вас измениться: каждый хорош тем, кто и что он есть. Видимо, математика тем и замечательна, что она больше всего интернациональна: в ней мало слов, но всё символы, символы, рисунки, и опять символы. Ну, а студенты - пусть приучаются к профессии сразу, без подготовки... Решение нестандартное, промолчать я не смог.
(31 Мар '13 15:39)
nikolaykruzh...
Разбираться в кратких математических записях - полезно!
(1 Апр '13 16:14)
DocentI
|
