Карточная игра, в которой участвует n игроков, состоит из нескольких туров, в каждом туре карты сдаются по-новому. Сила руки i-го игрока (1 ≤ i ≤ n, 1 < n < 300) в отдельном туре равна значению непрерывной случайной величины, равномерно распределённой на интервале [ai, bi]. Тур выигрывает игрок, у которого сила руки, определённая описанным случайным образом, будет наибольшей. Если наибольшая сила окажется у нескольких игроков, в туре фиксируется ничья.

Определите вероятность победы в туре для каждого игрока.

Буду очень благодарна любой помощи, мне бы хотя бы определить примерный алгоритм действий. (Не совсем понимаю, как именно тут высчитывать эту силу руки.) Заранее спасибо!

задан 8 Мар '18 22:52

изменен 9 Мар '18 1:08

Почитайте про порядковые статистики...

(9 Мар '18 0:02) all_exist

@all_exist: по-моему, ситуация здесь хотя и чем-то похожа на порядковые статистики, но здесь сами случайные величины распределены на разных отрезках, и основная проблема в этом.

@alinka_ale: я правильно понимаю, что задача состоит в написании программы, а Вас интересует алгоритм действий?

(9 Мар '18 1:41) falcao

@falcao, хм... про разные отрезки я не увидел...

Хотя с точки зрения самой игры - разные отрезки это что?... типа одним "прёт", а другим - нет... )))

(9 Мар '18 13:17) all_exist

да,@falcao, вы правы. но написание программы, как мне кажется, не должно составить труда, если у меня будет определенный алгоритм действий.

(9 Мар '18 16:46) Small_infinity

@alinka_ale: постановка задачи теперь понятна, и мне даже ясен способ её решения, который я готов изложить. Но у меня есть основания полагать, что если все вероятности вычислять абсолютно точно, то это потребует неприемлемо большого числа операций. В этом случае хотелось бы уточнить, нет ли в условии каких-то данных о точности желаемого приближения. Тем более, что операции с вещественными a(i), b(i) всё равно ведут к каким-то округлениям.

(10 Мар '18 0:18) falcao

@falcao: абсолютная погрешность не должна превосходить 10−9. спасибо!

(10 Мар '18 2:05) Small_infinity

@alinka_ale: с условием допущения погрешности, всё встаёт на свои места. Сегодня уже не успеваю, а завтра постараюсь написать.

(10 Мар '18 4:53) falcao
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
0

Для начала рассмотрим частный случай, когда отрезок того игрока, вероятность победы которого мы хотим найти, содержится во всех остальных отрезках. Для удобства, сменим обозначения для анализа этой ситуации. А именно, обозначим этот отрезок через $%[a,b]$%, а остальные отрезки через $%[a_j,b_j]\supseteq[a,b]$% (при $%1\le j\le m$%). Пусть $%x$%, $%x_j$% ($%1\le j\le m$%) -- значения соответствующих случайных величин. Нас интересует вероятность события $%\{x_1 < x,\ldots,x_m < x\}$%, где все неравенства можно считать строгими, так как вероятность совпадения значений непрерывных равномерно распределённых случайных величин равна нулю.

Пусть $%x\in[a,b]$% -- некоторое значение; тогда должны иметь место условия $%x_j\in[a_j,x]$% для всех $%j$% от $%1$% до $%m$%. Тогда вероятность интересующего нас события представляется в виде многомерного интеграла $$\int_a^b\frac{dx}{b-a}\int_{a_1}^x\frac{dx_1}{b_1-a_1}\ldots\int_{a_m}^x\frac{dx_m}{b_m-a_m}.$$ Получается интеграл от степенной функции $%\int_a^b\frac{(x-a_1)\ldots(x-a_m)}{(b-a)(b_1-a_1)\ldots(b_m-a_m)}\,dx$%, который затруднительно вычислить точно, если значение $%m$% слишком велико (при полном раскрытии скобок, получается порядка $%2^m$% слагаемых). Вычисление с заданной погрешностью возможно (при этом точность должна быть чуть выше той, которая дана в условии), но для более конкретных рекомендаций нужно знать порядок рассматриваемых величин. Подробности можно будет обсудить отдельно.

Теперь покажем, как общую задачу свести к рассматриваемому частному случаю. Вернём прежние обозначения, и пусть нужно найти вероятность победы $%i$%-го игрока. Рассмотрим все концы отрезков (их будет не более 600), и возьмём те из них, на которые будет разбит отрезок $%[a_i,b_i]$%. Для каждого отрезка такого разбиения будем находить условную вероятность победы $%i$%-го игрока, при условии, что $%i$%-я случайная величина попала в часть $%\Delta$% такого разбиения. При этом интересующая нас вероятность будет равна сумме отдельных слагаемых (условных вероятностей). Заметим, что если некоторый отрезок $%[a_k,b_k]$% при $%k\ne i$% находится строго правее $%\Delta$%, то соответствующая вероятность будет равна нулю, и такое слагаемое можно не учитывать. Если $%[a_k,b_k]$% при $%k\ne i$% находится строго левее $%\Delta$%, то можно игнорировать $%k$%-го игрока. Для всех остальных случаев мы получим систему отрезков, содержащих $%\Delta$%, что приводит к уже рассмотренному частному случаю. Нужно только заметить, что если число разбиений вида $%\Delta$% принимает значение типа 10 или 100, то точность вычисления для данного отрезка нужно повысить в соответствующее число раз, вычисляя интегралы с абсолютной погрешностью порядка $%10^{-10}$% или $%10^{-11}$%. Общее число слагаемых здесь вполне "обозримое" (порядка нескольких сотен), поэтому итоговое вычисление осуществимо за реальное время.

ссылка

отвечен 10 Мар '18 10:16

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×175

задан
8 Мар '18 22:52

показан
384 раза

обновлен
10 Мар '18 10:16

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru