теория-вероятностей - Найти коэфициент корелляции.

Рассмотрим ковариацию случайных величин $%X$% и $%Y=X^m$%: $$cov(X,Y)=M(XY)-(MX)(MY)=M(XY)=MX^{m+1}.$$ Здесь использован тот очевидный факт, что $%MX=0$% ввиду симметричности отрезка $%[-1,1]$% относительно нуля.

Поскольку плотность равномерного распределения на $%[a,b]$% имеет вид $%p(x)=1/(b-a)$% (вне этого отрезка плотность равна нулю), то в нашем случае $%p(x)=1/2$% на $%[-1,1]$%. Следовательно, $$MX^{m+1}=\int\limits_{-1}^1x^{m+1}p(x)\,dx,$$ что при чётном $%m$% равно нулю, и ковариация, а также коэффициент корреляции при этом равны нулю.

Пусть теперь $%m$% нечётно; тогда $$MX^{m+1}=\int\limits_{0}^1x^{m+1}\,dx=\frac1{m+2}.$$ Найдём для этого случая дисперсии величин $%X$% и $%Y$%. Прежде всего, $%DX=MX^2-(MX)^2=MX^2=1/3$% по только что найденной формуле, применённой к случаю $%m=1$%. Далее, $%MY=MX^m=0$% ввиду нечётности $%m$%, поэтому $%DY=MY^2=MX^{2m}=1/(2m+1)$% всё по той же формуле, в которой $%m$% заменяется на нечётное число $%2m-1$%.

В итоге при нечётных $%m$% имеем такой коэффициент корреляции между $%X$% и $%Y$%: $$r_{XY}=\frac{cov(X,Y)}{\sqrt{DX}\sqrt{DY}}=\frac{\sqrt{3(2m+1)}}{m+2}.$$ При чётных $%m$%, как уже было сказано, $%r_{XY}=0$%.