Помогите решить пожалуйста.

Случайная величина X равномерно распределена на интервале [-1,1]. Известно, что Y=X^m.

Считая целочисленный параметр m>0 заданным, найти коэффициент корреляции между случайными величинами X и Y.

задан 30 Мар '13 21:16

10|600 символов нужно символов осталось
0

Рассмотрим ковариацию случайных величин $%X$% и $%Y=X^m$%: $$cov(X,Y)=M(XY)-(MX)(MY)=M(XY)=MX^{m+1}.$$ Здесь использован тот очевидный факт, что $%MX=0$% ввиду симметричности отрезка $%[-1,1]$% относительно нуля.

Поскольку плотность равномерного распределения на $%[a,b]$% имеет вид $%p(x)=1/(b-a)$% (вне этого отрезка плотность равна нулю), то в нашем случае $%p(x)=1/2$% на $%[-1,1]$%. Следовательно, $$MX^{m+1}=\int\limits_{-1}^1x^{m+1}p(x)\,dx,$$ что при чётном $%m$% равно нулю, и ковариация, а также коэффициент корреляции при этом равны нулю.

Пусть теперь $%m$% нечётно; тогда $$MX^{m+1}=\int\limits_{0}^1x^{m+1}\,dx=\frac1{m+2}.$$ Найдём для этого случая дисперсии величин $%X$% и $%Y$%. Прежде всего, $%DX=MX^2-(MX)^2=MX^2=1/3$% по только что найденной формуле, применённой к случаю $%m=1$%. Далее, $%MY=MX^m=0$% ввиду нечётности $%m$%, поэтому $%DY=MY^2=MX^{2m}=1/(2m+1)$% всё по той же формуле, в которой $%m$% заменяется на нечётное число $%2m-1$%.

В итоге при нечётных $%m$% имеем такой коэффициент корреляции между $%X$% и $%Y$%: $$r_{XY}=\frac{cov(X,Y)}{\sqrt{DX}\sqrt{DY}}=\frac{\sqrt{3(2m+1)}}{m+2}.$$ При чётных $%m$%, как уже было сказано, $%r_{XY}=0$%.

ссылка

отвечен 30 Мар '13 22:31

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,001

задан
30 Мар '13 21:16

показан
1693 раза

обновлен
30 Мар '13 22:31

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru