Сама задача нетрудная, меня интересует доказательство единственности решения. У меня получилось простое, но очень нудное доказательство, может, у кого есть идея поинтересней?

Одно из чисел обязано делиться на 7. Это не может быть 21 (или больше), так как все числа положительны, а сумма должна быть 20. 14 тоже не подходит, так как в этом случае одно из оставшихся чисел обязано делиться на 5, но тогда сумма всех пяти чисел превысит 20. Итак, певрое число равно 7.

Теперь нам осталось найти 4 натуральных числа с суммой 13 и произведением 60. Одно из чисел обязано делиться на 5. Это не может быть 15 (или больше), так как все числа положительны, а сумма должна быть 13. 10 тоже не годится, так как в этом случае одно из оставшихся чисел обязано делиться на 3, но тогда сумма всех четырёх чисел превысит 13. Итак, наше второе число равно 5.

Теперь нам осталось найти 3 натуральных числа с суммой 8 и произведением 12. Одно из чисел обязано делиться на 3. Это не может быть 9 (или больше), так как все числа положительны, а сумма должна быть 8. 6 тоже не годится, поскольку если сумма 8, то оставшиеся 2 числа могут быть только единицами, но тогда произведение не будет равно 12. Итак, наше третье число равно 3.

Ну а теперь осталось найти 2 натуральных числа с суммой 5 и произведением 4, здесь очевидно единственный вариант: 1 и 4.

Итак, мы доказали единственность решения (порядок не важен): 7, 5, 3, 1, 4.

Теперь как бы всё вышеизложенное покороче сделать?

задан 9 Мар 11:17

изменен 9 Мар 11:19

10|600 символов нужно символов осталось
3

Мне кажется, самый простой подход такой. $%420=2\cdot2\cdot3\cdot5\cdot7$%, здесь ровно 5 множителей. Чтобы получить все возможные пятерки чисел, нужно к списку множителей добавить 1, после чего из шести полученных чисел какие-то два объединить в пару (перемножить).

Но легко видеть, что сумма шести множителей уже равна 20: $%1+2+2+3+5+7=20$%, поэтому делаем вывод, что замена двух чисел $%a+b$% их произведением $%ab$% не должна менять результат. Иначе говоря, нам нужны такие два числа, сумма которых равна их произведению. Ну, понятно же, какие...

ссылка

отвечен 9 Мар 11:36

изменен 9 Мар 11:37

@knop, большое спасибо!

(9 Мар 11:42) Казвертеночка

@knop, а моё доказательство засчитали бы на олимпиаде? Или забанили бы за нудность?

(9 Мар 11:44) Казвертеночка
2

@Казвертеночка: если доказательство правильное, то его всегда засчитывают, даже если оно плохое. А у Вас рассуждение пусть и длинное, но оно хорошее, потому что убедительное. Последнее для меня является критерием (а не формальная строгость или что-то ещё).

(9 Мар 12:07) falcao

@falcao, большое спасибо!

(9 Мар 12:21) Казвертеночка
1

@falcao - мне бы Вашу уверенность в слове "всегда"

(9 Мар 13:12) knop
1

@Казвертеночка - я не знаю, откуда Вы берете условия, но в русскоязычной традиции вместо "целые положительные" писать "натуральные".

(9 Мар 13:14) knop
1

@knop: а откуда неуверенность? :)

В данном случае, конечно, лучше было написать "натуральные", потому что "конфликтное" число 0 тут не могло быть в качестве слагаемого.

(9 Мар 13:21) falcao
1

@falcao - да вот поперепроверяли мы тут недавно региональную олимпиаду...

(9 Мар 16:47) knop
1

@knop, Вы пишете: « я не знаю, откуда Вы берете условия, но в русскоязычной традиции вместо "целые положительные" писать "натуральные".»

За что покупаем, за то и продаём: https://olympiads.mccme.ru/matprazdnik/prob6_99.html (зад №2)

(9 Мар 17:04) Казвертеночка
1

@Казвертеночка - Ok, спасибо за ссылку. Я попеняю Диме Калинину на эту формулировку. ;-)

(9 Мар 17:08) knop
1

@knop: "попенять" надо, причём не только на это. Ставить дефис перед числом -- это заведомый "моветон", потому что похоже на знак "минус" перед числом.

Что касается перепроверок, то этот момент мне понятен. Бывает так, что рассуждение в принципе правильное, но его надо "выуживать", а объяснение может быть очень плохим, за счёт чего проверяющие могли что-то не уловить. Я, кстати, в целом за то, чтобы школьники учились объяснять убедительно, и сознательно к этому стремились.

(9 Мар 18:09) falcao
показано 5 из 11 показать еще 6
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×765
×199
×141
×23
×1

задан
9 Мар 11:17

показан
271 раз

обновлен
9 Мар 18:09

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru