Доказать, что существуют срезающие функции: гладкие функции, которые равны 0 вне некоторой окрестности нуля и равными 1 внутри некоторой меньшей окрестности нуля.

задан 9 Мар 23:54

изменен 10 Мар 1:12

@Yıldırım Bay...: это очень известная конструкция, и на форуме она не раз обсуждалась. Только в условии надо бы сказать про гладкость, а то годится пример кусочно-линейной.

Ссылку искать трудно, поэтому очень кратко по общей схеме. Берётся функция f(x)=0 при x <= 0 и f(x)=exp(-1/x^2) при x > 0. Проверяется, что она гладкая (по производным в нуле). Далее перемножаются f(x) и f(1-x). Получается финитная гладкая функция на [0,1]. Теперь берём её первообразную. Она гладкая, и график соединяет тождественный 0 с тождественной 1. Этого достаточно, так как симметрично потом делаем переход от 1 к 0.

(10 Мар 0:59) falcao

@falcao, спасибо

(10 Мар 1:12) anxious

@falcao, не могли бы Вы пояснить, пожалуйста, почему график соединяет тождественный 0 с тождественной 1? То есть откуда тождественный 0 и 1?

(20 Мар 16:01) anxious

@anxious: строго говоря, там график соединяет 0 с положительной константой S, и надо разделить на S, чтобы получилась 1. А число S есть площадь под графиком функции, которая была построена перед этим, то есть f(x)f(1-x). Когда мы интегрируем, то сначала идёт 0 (так как функция нулевая). Потом начинает прибывать площадь (надо вспомнить, что интеграл -- площадь под графиком), и когда дойдём до точки x=1, площадь станет равна константе S.

(20 Мар 17:41) falcao

@falcao, спасибо Вам большое

(20 Мар 18:56) anxious
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×373
×110

задан
9 Мар 23:54

показан
132 раза

обновлен
20 Мар 18:56

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru