Существует ли непрерывная функция $%f: [0;+\infty) \to [0;+\infty)$% такая, что для произвольного неотрицательного действительного $%x:\;\;f(f(x))=\{x\}$%, где $%\{x\}$% - дробная часть числа $%x$% (другими словами $%\{x\}=x-[x]$%, где $%[x]$% - наибольшее целое число не превышающее $%x$%).

задан 9 Мар '18 23:55

изменен 10 Мар '18 0:06

10|600 символов нужно символов осталось
3

Из уравнения следует, что {f(x)}=f(f(f(x)))=f({x}). Это значит, что f отображает [0,1) в [0,1). Таким образом, f(f(x))=x на [0,1), откуда следует биективность ограничения f на [0,1). Непрерывная биекция должна быть монотонной. Убывающей она быть не может, то есть f возрастает. Из f(x) > x следует x=f(f(x)) > f(x), то есть противоречие. Аналогично x > f(x) влечёт f(x) > x. Значит, f тождественна на [0,1). Из непрерывности вытекает, что f(1)=1, но тогда 0={1}=f(f(1))=f(1)=1 -- противоречие.

ссылка

отвечен 10 Мар '18 4:52

10|600 символов нужно символов осталось
2

Композиция непрерывных функций непрерывна, а {x} -- разрывная функция. Противоречие.

ссылка

отвечен 23 Июл '18 14:52

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×42
×4

задан
9 Мар '18 23:55

показан
238 раз

обновлен
23 Июл '18 14:52

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru