теория-вероятностей - Плотность распределения отношения

Функция распределения случайной величины $%X/Y$% равна $$F(a)=P(X/Y\le a)=\iint\limits_{x/y\le a}f(x)f(y)\,dx\,dy.$$ Получается интеграл, который удобно разбить на два слагаемых: первое соответствует случаю $%y > 0$%, и тогда область интегрирования задаётся условием $%x\le ay$%, а во втором случае $%y < 0$%, а условие для области интегрирования имеет вид $%x\ge ay$%. Таким образом, $%F(a)$% будет суммой двух интегралов: $$\frac1{\pi^2}\int\limits_0^{\infty}\frac{dy}{1+y^2}\int\limits_{-\infty}^{ay}\frac{dx}{1+x^2}=\frac1{\pi^2}\int\limits_0^{\infty}\frac{dy}{1+y^2}\left(\arctan(ay)+\frac{\pi}2 \right)$$ и $$\frac1{\pi^2}\int\limits_{-\infty}^0\frac{dy}{1+y^2}\int\limits_{ay}^{\infty}\frac{dx}{1+x^2}=\frac1{\pi^2}\int\limits_{-\infty}^0\frac{dy}{1+y^2}\left(\frac{\pi}2-\arctan (ay)\right)$$ После несложных преобразований, в результате сложения этих двух интегралов получается $$F(a)=\frac12+\frac2{\pi^2}\int\limits_0^{\infty}\arctan(ay)\frac{dy}{1+y^2}.$$ Несобственный интеграл, зависящий от параметра, сходится абсолютно и равномерно на множестве $%a\in{\mathbb R}$%, так как он мажорируется сходящимся несобственным интегралом от функции $%1/(1+y^2)$%, не зависящей от параметра. Следовательно, здесь применимо дифференцирование под знаком интеграла. Производная функции $%\arctan(ay)$% по переменной $%a$% равна $%y/(1+a^2y^2)$%. Отсюда будет следовать, что $$F'(a)=\frac2{\pi^2}\int\limits_0^{\infty}\frac{y\,dy}{(1+a^2y^2)(1+y^2)}.$$ Подынтегральную функцию при $%a\ne\pm1$% можно представить в виде $$\frac1{a^2-1}\left(\frac{a^2y}{1+a^2y^2}-\frac{y}{1+y^2}\right),$$ и после интегрирования выражения в скобках получается $$\left.\frac12\ln\left(\frac{1+a^2y^2}{1+y^2}\right)\right|_0^{\infty}=\frac12\ln a^2=\ln|a|$$ при $%a\ne0$%. Таким образом, мы доказали, что функция $%F(a)$% имеет производную при всех $%a\ne0,\pm1$%, а это значит, что случайная величина $%X/Y$% имеет плотность распределения, равную $$p(a)=\frac2{\pi^2}\cdot\frac{\ln|a|}{a^2-1},$$ где $%a\ne0$%. При $%a=\pm1$% значения функции доопределяются по непрерывности.

Далее остаётся построить график функции $%p(a)$%. Она является чётной, и её значения стремятся к бесконечности при $%a\to0$%. Также легко видеть, что $%p(a)$% стремится к нулю при $%a\to\infty$%.