|
Диаметры $%AB$% и $%CD$% данного круга взаимно перпендикулярны. На дуге $%ACB$% взяты произвольные точки $%P$% и $%Q$%. Внутри круга проведена дуга $%AB$% окружности с центром в точке $%D$%. Хорды $%DP$% и $%DQ$% пересекаются с этой дугой соответственно в точках $%M$% и $%N$%, а точки $%P_1$% и $%Q_1$% - проекции точек $%P$% и $%Q$% на диаметр $%AB$%. Как доказать что площадь криволинейного четырехугольника $%PQNM$% равна площади треугольника $%DP_1Q_1$%? Догадок пока нет... Рисунок:
задан 10 Мар '18 23:56 
sevilllaaa |
|
Окружность с диаметром АВ будем называть основной, а окружность с радиусом АD - вторичной. Пусть О - центр основной окружности; S1 - площадь треугольника РQD; S2 - площадь треугольника РОQ; SЗ - площадь сегмента QР основной окружности; S4 - площадь сектора DNM вторичной окужности; S5 -площадь сектора QР основной окружности. Тогда площадь вашего криволинейного четырехугольника равна S=SЗ+S1-S4=S5-S2+S1-S4. Легко доказать, что S4=S5 (для этого следует учесть, что угол РОQ в два раза больше угла РDQ и выразить АD через радиус основной окружности). Получаем S=S1-S2. Пусть К - точка пересечения прямых DQ и АВ, а Т - точка пересечения прямых РD и АВ. Если мы докажем, что площади треугольников DQK и QOK равны, то тогда аналогично равны площади треугольников DPT и РОТ, а значит площадь треугольника DР1Q1 равна S1-S2. Осталось доказать равенство площадей треугольников DQK и QOK. Для это достаточно доказать, что $%QK \cdot DK=KO \cdot KQ$%. Последнее равенство следует из подобия треугольников КQQ1 и KOD. отвечен 11 Мар '18 1:22 
Witold2357 |
|
Не уменьшая общности можно считать, что $%OA = 1$%, а $%DA = \sqrt{2}$%... Обозначим $%\angle COP = \alpha$%... Тогда $$ S_{CGMP} = S_{OPC} + S_{\Delta OPD} - S_{DMG} = \frac{\alpha}{2} + \frac{\sin\alpha}{2} - \frac{1}{2}\cdot\Big(\sqrt{2}\Big)^2\cdot\frac{\alpha}{2} = \frac{\sin\alpha}{2} $$ Очевидно, что $%OP_1 = \sin\alpha$%... тогда $%S_{\Delta DOP_1}=\frac{1}{2}\cdot\sin\alpha$%... Затем аналогично рассматривается вторая половина рисунка.. отвечен 11 Мар '18 10:45 
all_exist |